最密堆积

如何在一定空间内堆叠出最多的橘子涉及最密堆积的问题。

在几何上，最密堆积（英语：Sphere Packing）或球填充，是指在一定范围内放入最多不重叠球体的方式，通常这些球的大小视为相同。堆积的范围通常是三维欧几里得空间，不过有时也会对超过三维的欧式空间或非欧几何空间进行讨论。

常见的最密堆积问题通常是要求在一空间内放入最多的球体。此时，球体总体积占空间大小的比例称为密度，科学家会利用算法找出能使密度尽可能增大的方法。理论上，在三维空间内由相同球体所形成的最密堆积密度能到74%。相较之下，随机排列（例如随意将几颗球丢进箱子里）的密度平均只有64%。

欧式几何

参见：开普勒猜想

由相同大小之球体转换到不规则形的气泡。

在三维欧几里得空间中，三维的最密堆积是由若干二维密置层叠合起来的，密置层中相邻的等径球都相切。其中两种常见的最密堆积方式，一种称为面心立方（FCC），底部必须是三角形，以便尽可能堆出最小的金字塔。另一种为六方最密堆积（HCP），要堆出最小的金字塔时，底部须为六角形。面心立方是在每一层中规律性地重复三个不同的位置，成为“ABCABC……”的模式；六方最密堆积则是规律性地重复两个不同的位置，使各层在ABAB ...序列中交替。 但是也有可能出现多层堆叠序列（ABAC，ABCBA，ABCBAC等），并且仍然生成紧密堆积结构。 在所有这些布置中，每个球被12个其他球围绕。理论上其密度最大值为:

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 74.048\%$

此外，常见的堆积方式密度如下：

• 六方密堆积 : 74%
• 面心立方堆积 : 74%
• 体心立方堆积: 68%
• 简单立方堆积: 52%
• 钻石结构: 34%
• 随机堆积: 59%~64%

实验上，面心立方是六方最密堆积随时间逐渐演变而来，特别是同等体积的气泡、水滴或固体颗粒自动形成的模式。

高斯在1831年证明，这些填料在所有可能的点阵填料中密度最高。在1611年开普勒猜想这是在正规和不规则安排之间的最大可能密度，这被称为开普勒猜想。在1998年，托马斯·黑尔斯借由拉斯罗‧费耶斯‧托特所提出的方式，提出了一个关于此猜想的证明。黑尔斯利用穷举法的方式证明此猜想，其证明大量地使用计算机程序的运算。审稿者曾说他们对于黑尔斯证明的正确性有99%的确定性，故开普勒猜想目前已几乎可说是个定理了。2014年由黑尔斯引导的Project FlysPecK完成了对开普勒猜想的形式化证明。

化学

参见：原子堆积因子

化学上，晶体中的原子、离子或分子等粒子，其规则满足点阵型式；能在相同空间内填入最多原子的方式称为最密堆积，通常以固体存在于自然界。

各种最密堆积中，最有对称性的是六方最密堆积（英文缩写hcp，又叫A3型）和面心立方最密堆积（英文缩写fcc，又叫A1型），这两种是晶体中极常见的排列方式。hcp的叠合方式是2层一循环：ABAB……；fcc的叠合方式是3层一循环：ABCABC……。

六方最密堆积在取晶胞时，一般取六方锥的三分之一，晶胞属六方晶系，底面菱形的锐角一定是60°。下图是六方最密堆积的原子在一个六方锥的排列。

面心立方最密堆积示意图

面心立方最密堆积出于对称性一般取面心型式的立方晶胞。一个晶胞涉及到的14个原子分属4层：以一个顶角为A层，与之最相邻的3个面心原子和3个顶角原子属于B层，接下来的6个原子属于C层，还有一个顶角与A层的顶角相对，它处于下一个循环的A层。

许多单质，尤其是金属单质为了获得较强的作用力，常采用最密堆积。
采用六方最密堆积的单质有：

• 铍、镁
• 钛、钴、锌、锆、锝、钌、镉、铪、铼、锇
• 钪、钇、镧、镨、钕、钷、钆、铽、镝、钬、铒、铥

采用面心立方最密堆积的单质有：

• 钙、锶
• 铝、铅
• 氖、氩、氪、氙
• 镍、铜、铑、钯、银、铱、铂、金
• 铈、镱、锕、钍

参看

• 晶体化学
• 晶体结构