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正图形列表

维基百科，自由的百科全书
正图形范例
正多边形（二维）
凸 星形

{5}
{5/2}
正多面体（三维）
凸 星形

{5,3}
{5/2,5}
正镶嵌图（二维）
平面 双曲

{4,4}
{5,4}
正多胞体（四维）
凸 星形

{5,3,3}
{5/2,5,3}（英语：Small stellated 120-cell）
正堆砌体（三维）
平面 双曲

{4,3,4}
{5,3,4}（英语：Order-4 dodecahedral honeycomb）

此页面列出了所有的欧几里得空间、双曲空间和球形空间的正图形或正多胞形。施莱夫利符号可以描述每一个正图形或正多胞形，他被广泛使用如下面的每一个紧凑的参考名称。

正图形或正多胞形可由其维度分类，也可以分成凸、非凸（星形、扭歪、复合或凹）和无穷等形式。非凸形式（或凹形式）使用与凸形式相同的顶点，但面（或边）有相交。无限的形式则是在一较低维的欧几里得空间中密铺（镶嵌或堆砌）。

无限的形式可以扩展到密铺双曲空间。双曲空间是和正常的空间有相同的规模，但平行线在一定的距离内会分岔得越来越远。这使得顶点值可以存在负角度的缺陷，例如制作一个由个正三角形组成的顶点，它们可以被平放。它不能在普通平面上完成的，但可以在一个双曲平面上构造。

概观

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此表显示正图形或正多胞形在各个维度的汇总。

请注意，平面密铺和双曲密铺的维数比预期多一维。这是因为它们是有限多胞形在不同维度的类比：凸正n胞形可以看作(n−1)维球面空间的镶嵌。因此，欧几里德平面的三个正镶嵌图（正三角形镶嵌、正方形镶嵌和正六边形镶嵌）列在第三维度而不是第二维下。

有限[注 1] 平面[注 2] 双曲[注 3] 复合[注 4] 抽象
维度 凸 非凸 密铺
星形 扭歪 凸 星形 扭歪 紧凑 仿紧 非紧
凸 星形 凸 凸 星形
-1[注 5] 0 0 0 0 0[注 6] 0 0 0 0 0 0 0 1[注 7]
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1[注 8] 0 0 0 0 0 0 0 1
2 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 0 0 0 ∞ ∞ ∞
3 5 4 ? 3 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 5 0 ∞
4 6 10 ? 1 ? 4 0 11 ∞ 26 20 ∞
5 3 0 ? 3 ? 5 4 2 186[1] 0 0 ∞
6 3 0 ? 1 ? 0 0 5 66[1] 0 0 ∞
7 3 0 ? 1 ? 0 0 0 36[1] 3 0 ∞
8 3 0 ? 1 ? 0 0 0 13[1] 6 0 ∞
9 3 0 ? 1 ? 0 0 0 10[1] 0 0 ∞
10 3 0 ? 1 ? 0 0 0 8[1] 0 0 ∞
11 3 0 ? 1 ? 0 0 0 4[1] 0 0 ∞
12+ 3 0 ? 1 ? 0 0 0 [2] ≤2[注 9] 0 ∞
不存在 存在唯一 有限个 无穷个 不一定

零维或以下的正图形

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上图以正方形展示一个二维正多胞形的组成元素：一个二维正多胞形（正方形）、四个一维正多胞形（线段）、四个零维正多胞形（顶点）和一个负一维正多胞形（空集合）

在维数为零的空间能存在的多胞形只有点[3]，无法有其他几何或拓朴组合，而维数比零更低则是在抽象理论（英语：Abstract_polytope）中的虚无多胞形（英语：Null polytope）代表一种空集合，在抽象理论（英语：Abstract_polytope）中被看作是一种负一维的多胞形[4]，但其是一种抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）。然而，在数学上，零维空间是按以下的不等价定义之一，维数为零的拓扑空间：按覆盖维数的概念，一个拓扑空间是零维空间，若空间的任何开覆盖，都有一个加细，使得空间内每一点，都在这个加细的恰好一个开集内；或者按小归纳维数的概念，一个拓扑空间是零维空间，若空间有一个由闭开集组成的基。这两个概念对可分可度量化空间为等价[5][6]。而负一维空间仅是在抽象理论（英语：Abstract_polytope）表示一个比零维多胞形更低维度的一个元词。

依据正图形的定义，一个多胞形必须要具备严格的标记可递特性，对于该几何体内所有同维度的元素（如:点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，而零维多胞形的元素仅有{F−1, F0}、负一维多胞形的元素仅有{F−1}，几何上所有零维多胞形都是正多胞形，一般地，n维正图形被定义为有正维面[（n − 1）-表面]和正顶点图，这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的，但这一定义并不适用于抽象多胞形（英语：抽象多胞形），而负一维的多胞形的仅有一种抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）。

另外，正零边形也可以视为零维或以下的正图形，或看做是虚无多胞形（英语：Null polytope）。

一维正图形

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考克斯特记号终结点代表一个镜射面，周围有环的节点表示其不位于一个平面。 ditel, { }, node_1  是点 p和其镜射像 p'并且中间被夹出一段线段

在维数为一的一维空间里存在的多胞形是由两个端点包围住的一个封闭一维空间，即线段。在定义上，这个一维多胞形（或称1-多胞形）在施莱夫利符号中以： { } 表示[8][9]，而在考克斯特记号中则以一个有环的节点：node_1 表示[7]。诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）将之称为ditel，并在施莱夫利符号中以{ }表示[10]。依据正图形的定义，一个多胞形必须要具备严格的标记可递特性，对于该几何体内所有同维度的元素（如:点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，而一维多胞形的旗包含{F−1, F0, F1}、其元素仅有{F−1, A, B, AB}，其中，A、B为线段两端点，由于几何上所有零维多胞形都是正多胞形，因此所有的线段都会符合标记可递特以及所有同维度的元素（如:点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，因此在几何上所有的一维多胞形都是正多胞形。

虽然线段做为一个多胞形是微不足道的，但它似乎是多边形和其他更高维度图形形成边缘所需的一个元素[11]。在一维以及以下（包括一维、零维、负一维）空间中的多胞形都是正多胞形，包含了一维的线段、零维的点和负一维的抽象虚无多胞形都是组成多边形和其他更高维度图形的重要元素之一，比如一维的线段组成多边形的边、零维的点组成多边形的顶点以及代表集合子集中空集合的抽象虚无多胞形都是多边形的组成元素（子集），依据正图形定义，若这些低为度不存在正图形，则也不会有正多边形和其他更高维度的正图形。

在柱体的定义里，线段（一维）可以被看做是点（零维）的柱体，在施莱夫利符号中以{ }×{p}表示，而在考克斯特记号中则以笛卡儿积的形式node_1 2 node_1 p node 表示一个线段和多边形[12]。

二维正多边形

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二维凸正多边形

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主条目：正多边形
名称 正三角形
（2-单体） 		正方形
（2-正轴形）
（2-立方形） 		正五边形 正六边形 正七边形 正八边形
施莱夫利符号 {3} {4} {5} {6} {7} {8}
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node_1 3 node  node_1 4 node  node_1 5 node  node_1 6 node  node_1 7 node  node_1 8 node 
图像
名称 正九边形 正十边形 正十一边形 正十二边形 正十三边形 正十四边形
施莱夫利 {9} {10} {11} {12} {13} {14}
考克—迪肯 node_1 9 node  node_1 10 node  node_1 11 node  node_1 12 node  node_1 13 node  node_1 14 node 
图像
名称 正十五边形 正十六边形 正十七边形 正十八边形 正十九边形 正二十边形 ...正n边形
施莱夫利 {15} {16} {17} {18} {19} {20} {n}
考克—迪肯 node_1 15 node  node_1 16 node  node_1 17 node  node_1 18 node  node_1 19 node  node_1 20 node  node_1 n node 
图像
边数较大的正多边形
名称 二百五十七边形 正65537边形 一百万边形
可作图？ 可作图[13][14] 可作图[15][16] 不可
施莱夫利符号 {257}[17] {65537}[18] {1000000}[19]
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node_1 2x 5 7 node  node_1 6 5 5 3x 7 node  node_1 10 0x 0x 0x 0x 0x node 
图像 [20][注 10]

退化 （圆形）

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名称 正零边形 正一边形 正二边形
施莱夫利符号 {1}[21] {2}[22]
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node  node_1 
图像

星形正多边形

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名称 五角星 七角星 八角星 九角星 十角星 ...n角星
施莱夫利符号 {5/2}[23] {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node_1 5 rat d2 node  node_1 7 rat d2 node  node_1 7 rat d3 node  node_1 8 rat d3 node  node_1 9 rat d2 node  node_1 9 rat d4 node  node_1 10 rat d3 node  node_1 p rat dq node 
图像  
20边以下的星形正多边形

{11/2}
{11/3}
{11/4}
{11/5}
{12/5}
{13/2}
{13/3}
{13/4}
{13/5}
{13/6}

{14/3}
{14/5}
{15/2}
{15/4}
{15/7}
{16/3}
{16/5}
{16/7}

{17/2}
{17/3}
{17/4}
{17/5}
{17/6}
{17/7}
{17/8}
{18/5}
{18/7}

{19/2}
{19/3}
{19/4}
{19/5}
{19/6}
{19/7}
{19/8}
{19/9}
{20/3}
{20/7}
{20/9}

扭歪正多边形

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锯齿扭歪多边形的例子
扭歪六边形 扭歪八边形 扭歪十边形
D3d, [2+,6] D4d, [2+,8] D5d, [2+,10]
{3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }

三维正图形

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三维凸正多面体

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主条目：正多面体
名称 施莱夫利符号
{p,q} 		考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
node_1 p node q node  		图像
（透视图） 		图像
（立体图） 		图像
（球面投影） 		面
{p} 		边 顶点
{q} 		对称群 对偶
正四面体
（3-单体）
（三角锥） 		{3,3} node_1 3 node 3 node  4
{3} 		6 4
{3} 		Td （自身对偶）
正方体
（3-立方形）
（正六面体）
（四角柱） 		{4,3} node_1 4 node 3 node  6
{4} 		12 8
{3} 		Oh 正八面体
正八面体
（3-正轴体）
（正三角反棱柱） 		{3,4} node_1 3 node 4 node  8
{3} 		12 6
{4} 		Oh 立方体
正十二面体 {5,3} node_1 5 node 3 node  12
{5} 		30 20
{3} 		Ih 正二十面体
正二十面体 {3,5} node_1 3 node 5 node  20
{3} 		30 12
{5} 		Ih 正十二面体

退化 （球面）

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在球面几何学中，多面形 {2,n} 和多边形二面体 {n,2} 以及一面体 {1,1} 也可以被视为是一种正多面体（正球面镶嵌）。

他们包括：

名称 施莱夫利
{p,q} 		考克斯特
记号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 		图像
（球面） 		面
{p} 		边 顶点
{q} 		对称性（英语：List of spherical symmetry groups） 对偶
一边形一面体 {1,1} node  1
{1} 		0 1
{1} 		C1
（*1） 		自身对偶
一边形二面体 {1,2} node_1 2 node  2
{1} 		1 1
{2} 		C1v
（*22） 		一面形
一面形 {2,1} node 2 node  1
{2} 		1 2
{1} 		C1v
（*22） 		一边形二面体
二边形二面体
二面形 		{2,2} node_1 2 node 2 node  2
{2} 		2 2
{2} 		D2h
（*222） 		自身对偶
三面形 {2,3} node_1 2 node 3 node  3
{2} 		3 2
{3} 		D3h
（*322） 		三角形二面体
三角形二面体 {3,2} node_1 3 node 2 node  2
{3} 		3 3
{2} 		D3h
（*322） 		三面形
六面形 {2,6} node_1 2 node 6 node  6
{2} 		6 2
{6} 		D6h
（*622） 		六边形二面体
六边形二面体 {6,2} node_1 6 node 2 node  2
{6} 		6 6
{2} 		D6h
（*622） 		六面形

星形正多面体

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名称 半透明
图像 		立体
图像 		球面镶嵌
图像 		星状图 施莱夫利
{p,q}
考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 		面
{p} 		边 顶点
{q}
顶点图 		χ 密度（英语：Density (polytope)） 对称姓 对偶
小星形十二面体 {5/2,5}
node 5 node 5 rat d2 node_1  		12
{5/2}
 30 12
{5}
 −6 3 Ih
[5,3]
（*532）		 大十二面体
大十二面体 {5,5/2}
node_1 5 node 5 rat d2 node  		12
{5}
 30 12
{5/2}
 −6 3 Ih
[5,3]
（*532）		 小星形十二面体
大星形十二面体 {5/2,3}
node 3 node 5 rat d2 node_1  		12
{5/2}
 30 20
{3}
 2 7 Ih
[5,3]
（*532）		 大二十面体
大二十面体 {3,5/2}
node_1 3 node 5 rat d2 node  		20
{3}
 30 12
{5/2}
 2 7 Ih
[5,3]
（*532）		 大星形十二面体

扭歪正多面体

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考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体极其类似物》[24]中列出了较多的一系列扭歪多面体，其中有四种是正图形。

{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3}

四维正图形

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四维凸正多胞体

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在四维空间中存在6种凸正图形。

名称
 施莱夫利
{p,q,r} 		考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
node p node q node r node  		胞
{p,q} 		面
{p} 		边
{r} 		顶点
{q,r} 		对偶
{r,q,p}
正五胞体
（四维单纯形） 		{3,3,3} node_1 3 node 3 node 3 node  5
{3,3} 		10
{3} 		10
{3} 		5
{3,3} 		自身对偶
正八胞体
（四维超方形）
（超立方体） 		{4,3,3} node_1 4 node 3 node 3 node  8
{4,3} 		24
{4} 		32
{3} 		16
{3,3} 		正十六胞体
正十六胞体
（四维正轴体） 		{3,3,4} node_1 3 node 3 node 4 node  16
{3,3} 		32
{3} 		24
{4} 		8
{3,4} 		超立方体
正二十四胞体 {3,4,3} node_1 3 node 4 node 3 node  24
{3,4} 		96
{3} 		96
{3} 		24
{4,3} 		自身对偶
正一百二十胞体
（四维类五边形体） 		{5,3,3} node_1 5 node 3 node 3 node  120
{5,3} 		720
{5} 		1200
{3} 		600
{3,3} 		正六百胞体
正六百胞体
（四维类二十面体体 		{3,3,5} node_1 3 node 3 node 5 node  600
{3,3} 		1200
{3} 		720
{5} 		120
{3,5} 		正一百二十胞体
正五胞体 超立方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
线架图 （皮特里多边形） 歪斜正投影图（英语：orthographic projection）
不透明正投影图（英语：orthographic projection）

被正四面体包覆
（以顶点与胞为中心）
被立方体包覆
（以胞为中心）
被立方体包覆
（以胞为中心）
被截半立方体包覆
（以胞为中心）
被倒角十二面体包覆
（以胞为中心）
被五角化截半二十面体包覆
（以顶点为中心）
施莱盖尔（英语：Schlegel diagram）线框 （透视投影）

（以胞为中心）
（以胞为中心）
（以胞为中心）
（以胞为中心）
（以胞为中心）
（以顶点为中心）
球极平面投影线框 （超球面堆砌）

退化 （超球面）

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多维面形
施莱夫利
{2,p,q} 		考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
node_1 2x node p node q node  		胞
{2,p}π/q 		面
{2}π/p,π/q 		边 顶点 顶点图
{p,q} 		对称性 对偶多胞形
{2,3,3} node_1 2x node 3 node 3 node  4
{2,3}π/3
 6
{2}π/3,π/3 		4 2 {3,3}
 [2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3} node_1 2x node 4 node 3 node  6
{2,4}π/3
 12
{2}π/4,π/3 		8 2 {4,3}
 [2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4} node_1 2x node 3 node 4 node  8
{2,3}π/4
 12
{2}π/3,π/4 		6 2 {3,4}
 [2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3} node_1 2x node 5 node 3 node  12
{2,5}π/3
 30
{2}π/5,π/3 		20 2 {5,3}
 [2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5} node_1 2x node 3 node 5 node  20
{2,3}π/5
 30
{2}π/3,π/5 		12 2 {3,5}
 [2,5,3] {5,3,2}

扭歪多胞体

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四维的扭歪多胞体是一些位于五维或以上的扭歪图形。

五维正图形

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五维凸正多胞体

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名称 施莱夫利
{p,q,r,s}
考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 		维面
{p,q,r} 		胞
{p,q} 		面
{p} 		边 顶点 面图
{s} 		边图
{r,s} 		顶点图
{q,r,s}
五维正六胞体 {3,3,3,3}
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 		 6
{3,3,3}		 15
{3,3}		 20
{3}		 15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
五维超正方体 {4,3,3,3}
node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 		 10
{4,3,3}		 40
{4,3}		 80
{4}		 80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
五维正三十二胞体 {3,3,3,4}
node_1 3 node 3 node 3 node 4 node 		 32
{3,3,3}		 80
{3,3}		 80
{3}		 40 10 {4} {3,4} {3,3,4}

五维正六胞体
五维超正方体
五维正三十二胞体

六维正图形

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六维凸正多胞体

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 维脊 维面 χ
六维正七胞体 {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
六维超立方体（英语：6-cube） {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
六维正六十四胞体（英语：6-orthoplex） {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0

六维正七胞体
六维超立方体（英语：6-cube）
六维正六十四胞体（英语：6-orthoplex）

七维正图形

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七维凸正多胞体

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 维峰 维脊 维面 χ
七维正八胞体 {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
七维超立方体（英语：7-cube） {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
七维正一百二十八胞体（英语：7-orthoplex） {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2

七维正八胞体
七维超立方体（英语：7-cube）
七维正一百二十八胞体（英语：7-orthoplex）

七维以上正图形

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自五维开始，正图形皆只有三种——单纯形、超方形以及正轴形。

n维凸正多胞体

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从五维开始，凸正多胞体都只有三种[25]。

名称 施莱夫利
符号
{p1,...,pn−1} 		考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
记号 		k维胞 / 面 维面 顶点图 对偶
n维单体 {3n−1} node_1 3 node 3 ...3 node 3 node  {3n−2} {3n−2} 自身对偶
n维超立方体 {4,3n−2} node_1 4 node 3 ...3 node 3 node  {4,3n−3} {3n−2} n维正轴体
n维正轴体 {3n−2,4} node_1 3 node 3 ...3 node 4 node  {3n−2} {3n−3,4} n维超立方体

八维

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 4维胞 维峰 维脊 维面 χ
八维单体（英语：8-simplex） {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
八维超立方体（英语：8-cube） {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
八维正轴体（英语：8-orthoplex） {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0

八维单体（英语：8-simplex）
八维超立方体（英语：8-cube）
八维正轴体（英语：8-orthoplex）

九维

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 4维胞 5维胞 维峰 维脊 维面 χ
九维单体（英语：9-simplex） {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
九维超立方体（英语：9-cube） {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
九维正轴体（英语：9-orthoplex） {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2

九维单体（英语：9-simplex）
九维超立方体（英语：9-cube）
九维正轴体（英语：9-orthoplex）

十维

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 4维胞 5维胞 6维胞 维峰 维脊 维面 χ
十维单体 {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
十维超立方体（英语：10-cube） {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
十维正轴体（英语：10-orthoplex） {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0

十维单体
十维超立方体（英语：10-cube）
十维正轴体（英语：10-orthoplex）

十一维

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 4维胞 5维胞 6维胞 7维胞 维峰 维脊 维面 χ
十一维单体 {310} 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 2
十一维超立方体 {4,39} 2048 11264 28160 42240 42240 29568 14784 5280 1320 220 22 2
十一维正轴体 {39,4} 22 220 1320 5280 14784 29568 42240 42240 28160 11264 2048 2

十一维单体
十一维超立方体
十一维正轴体

十二维

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名称 施莱夫利 顶点 边 面 胞 4维胞 5维胞 6维胞 7维胞 8维胞 维峰 维脊 维面 χ
十二维单体 {311} 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 0
十二维超立方体 {4,310} 4096 24576 67584 112640 126720 101376 59136 25344 7920 1760 264 24 0
十二维正轴体 {310,4} 24 264 1760 7920 25344 59136 101376 126720 112640 67584 24576 4096 0

十二维单体
十二正轴体

更高维度

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种类 维度 名称 施莱夫利 顶点 边 面 维峰 维脊 维面 χ
单纯形 13 十三维单体 {312} 14 91 364 364 91 14 2
14 十四维单体 {313} 15 105 455 455 105 15 0
15 十五维单体 {314} 16 120 560 560 120 16 2
16 十六维单体 {315} 17 136 680 680 136 17 0
17 十七维单体 {316} 18 153 816 816 153 18 2
18 十八维单体 {317} 19 171 969 969 171 19 0
19 十九维单体 {318} 20 190 1140 1140 190 20 2
20 二十维单体 {319} 21 210 1330 1330 210 21 0
超方形 13 十三维超立方体 {4,311} 8192 53248 159744 2288 312 26 2
14 十四维超立方体 {4,312} 16384 114688 372736 2912 364 28 0
15 十五维超立方体 {4,313} 32768 245760 860160 3640 420 30 2
16 十六维超立方体 {4,314} 65536 524288 1966080 4480 480 32 0
17 十七维超立方体 {4,315} 131072 1114112 4456448 5440 544 34 2
18 十八维超立方体 {4,316} 262144 2359296 10027008 6528 612 36 0
19 十九维超立方体 {4,317} 524288 4980736 22413312 7752 684 38 2
20 二十维超立方体 {4,318} 1048576 10485760 49807360 9120 760 40 0
正轴形 13 十三维正轴体 {311,4} 26 312 2288 159744 53248 8192 2
14 十四维正轴体 {312,4} 28 364 2912 372736 114688 16384 0
15 十五维正轴体 {313,4} 30 420 3640 860160 245760 32768 2
16 十六维正轴体 {314,4} 32 480 4480 1966080 524288 65536 0
17 十七维正轴体 {315,4} 34 544 5440 4456448 1114112 131072 2
18 十八维正轴体 {316,4} 36 612 6528 10027008 2359296 262144 0
19 十九维正轴体 {317,4} 38 684 7752 22413312 4980736 524288 2
20 二十维正轴体 {318,4} 40 760 9120 49807360 10485760 1048576 0

n维正非凸多胞形

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从五维开始就都不存在任何非凸多胞形。

正无穷多胞形

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一维

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密铺

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对应的欧几里得密铺只有一种，密铺于一维欧几里得空间，即直线，即正无限边形。其施莱夫利符号以{∞}表示、考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）以node_1 infin node 表示。

该镶嵌是由一维正图形“线段”（即二维二边形）完成一维欧几里得空间的密铺。

......

双曲密铺

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对应的双曲密铺只有一种，即由一维正图形“线段”完成一维罗氏空间（即二维双曲线）的密铺，类似于无限边形，称为超无限边形，但又因为它是发散的，因此又称为伪多边形。在施莱夫利符号以{iπ/λ}表示、考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）以node_1 ultra node 表示。

二维

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平面正镶嵌图

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名称 正方形镶嵌 正三角形镶嵌 正六边形镶嵌
对称群（英语：List of planar symmetry groups#Wallpaper groups） p4m, [4,4], （*442） p6m, [6,3], （*632）
施莱夫利 {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
考克斯特记号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node_1 4 node 4 node  node 6 node 3 node_1  node_1 6 node 3 node 
图像

双曲凸正镶嵌图

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双曲正镶嵌图
球面 （退化/柏拉图）/平面/双曲面 （庞加莱圆盘： 紧凑/仿紧凑/非紧凑） 镶嵌图与其施莱夫利符号
p \ q 2 3 4 5 6 7 8 ... ∞ ... iπ/λ
2
{2,2}
node_1 2 node 2 node 
{2,3}
node_1 2 node 3 node 
{2,4}
node_1 2 node 4 node 
{2,5}
node_1 2 node 5 node 
{2,6}
node_1 2 node 6 node 
{2,7}
node_1 2 node 7 node 
{2,8}
node_1 2 node 8 node 
{2,∞}
node_1 2 node infin node 
{2,iπ/λ}
node_1 2 node ultra node 
3

{3,2}
node_1 3 node 2 node 
（正四面体）
{3,3}
node_1 3 node 3 node 
（正八面体）
{3,4}
node_1 3 node 4 node 
（正二十面体）
{3,5}
node_1 3 node 5 node 
（三角镶嵌）
{3,6}
node_1 3 node 6 node 

{3,7}
node_1 3 node 7 node 

{3,8}
node_1 3 node 8 node 

{3,∞}
node_1 3 node infin node 

{3,iπ/λ}
node_1 3 node ultra node 
4

{4,2}
node_1 4 node 2 node 
（立方体）
{4,3}
node_1 4 node 3 node 
（方形镶嵌）
{4,4}
node_1 4 node 4 node 

{4,5}
node_1 4 node 5 node 

{4,6}
node_1 4 node 6 node 

{4,7}
node_1 4 node 7 node 

{4,8}
node_1 4 node 8 node 

{4,∞}
node_1 4 node infin node 

{4,iπ/λ}
node_1 4 node ultra node 
5

{5,2}
node_1 5 node 2 node 
（十二面体）
{5,3}
node_1 5 node 3 node 

{5,4}
node_1 5 node 4 node 

{5,5}
node_1 5 node 5 node 

{5,6}
node_1 5 node 6 node 

{5,7}（英语：Order-7 pentagonal tiling）
node_1 5 node 7 node 

{5,8}（英语：Order-8 pentagonal tiling）
node_1 5 node 8 node 

{5,∞}
node_1 5 node infin node 

{5,iπ/λ}
node_1 5 node ultra node 
6

{6,2}
node_1 6 node 2 node 
（六角镶嵌）
{6,3}
node_1 6 node 3 node 

{6,4}
node_1 6 node 4 node 

{6,5}
node_1 6 node 5 node 

{6,6}
node_1 6 node 6 node 

{6,7}（英语：Order-7 hexagonal tiling）
node_1 6 node 7 node 

{6,8}
node_1 6 node 8 node 

{6,∞}（英语：Infinite-order hexagonal tiling）
node_1 6 node infin node 

{6,iπ/λ}
node_1 6 node ultra node 
7
{7,2}
node_1 7 node 2 node 
{7,3}
node_1 7 node 3 node 
{7,4}
node_1 7 node 4 node 
{7,5}（英语：Order-5 heptagonal tiling）
node_1 7 node 5 node 
{7,6}（英语：Order-6 heptagonal tiling）
node_1 7 node 6 node 
{7,7}
node_1 7 node 7 node 
{7,8}（英语：Order-8 heptagonal tiling）
node_1 7 node 8 node 
{7,∞}（英语：Infinite-order heptagonal tiling）
node_1 7 node infin node  		{7,iπ/λ}
node_1 7 node ultra node 
8
{8,2}
node_1 8 node 2 node 
{8,3}
node_1 8 node 3 node 
{8,4}
node_1 8 node 4 node 
{8,5}（英语：Order-5 octagonal tiling）
node_1 8 node 5 node 
{8,6}
node_1 8 node 6 node 
{8,7}（英语：Order-7 octagonal tiling）
node_1 8 node 7 node 
{8,8}
node_1 8 node 8 node 
{8,∞}（英语：Infinite-order octagonal tiling）
node_1 8 node infin node  		{8,iπ/λ}
node_1 8 node ultra node 
⋮
∞
{∞,2}
node_1 infin node 2 node 
{∞,3}
node_1 infin node 3 node 
{∞,4}
node_1 infin node 4 node 
{∞,5}
node_1 infin node 5 node 
{∞,6}（英语：Order-6 apeirogonal tiling）
node_1 infin node 6 node 
{∞,7}（英语：Order-7 apeirogonal tiling）
node_1 infin node 7 node 
{∞,8}（英语：Order-8 apeirogonal tiling）
node_1 infin node 8 node 
{∞,∞}
node_1 infin node infin node 
{∞,iπ/λ}
node_1 infin node ultra node 
⋮
iπ/λ
{iπ/λ,2}
node_1 ultra node 2 node 
{iπ/λ,3}
node_1 ultra node 3 node 
{iπ/λ,4}
node_1 ultra node 4 node 
{iπ/λ,5}
node_1 ultra node 5 node 
{iπ/λ,6}
node_1 ultra node 6 node  		{iπ/λ,7}
node_1 ultra node 7 node  		{iπ/λ,8}
node_1 ultra node 8 node 
{iπ/λ,∞}
node_1 ultra node infin node 
{iπ/λ,iπ/λ}
node_1 ultra node ultra node 

双曲星形正镶嵌图

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名称 施莱夫利符号 考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 图像 面的种类
{p} 		顶点图
{q} 		密度（英语：Density (polytope)） 对称 对偶
七阶七角星镶嵌 {7/2,7} node_1 7 rat d2 node 7 node  {7/2}
 {7}
 3 *732
[7,3] 		二分之七阶七边形镶嵌
二分之七阶七边形镶嵌 {7,7/2} node_1 7 node 7 rat d2 node  {7}
 {7/2}
 3 *732
[7,3] 		七阶七角星镶嵌
九阶九角星镶嵌 {9/2,9} node_1 9 rat d2 node 9 node  {9/2}
 {9}
 3 *932
[9,3] 		二分之九阶九边形镶嵌
二分之九阶九边形镶嵌 {9,9/2} node_1 9 node 9 rat d2 node  {9}
 {9/2}
 3 *932
[9,3] 		九阶九角星镶嵌
十一阶十一角星镶嵌 {11/2,11} node_1 11 rat d2 node 11 node  {11/2}
 {11}
 3 *11.3.2
[11,3] 		二分之十一阶十一边形镶嵌
二分之十一阶十一边形镶嵌 {11,11/2} node_1 11 node 11 rat d2 node  {11}
 {11/2}
 3 *11.3.2
[11,3] 		十一阶十一角星镶嵌
p阶p角星镶嵌 {p/2,p} node_1 p rat d2 node p node    {p/2} {p} 3 *p32
[p,3] 		二分之p阶p边形镶嵌
二分之p阶p边形镶嵌 {p,p/2} node_1 p node p rat d2 node    {p} {p/2} 3 *p32
[p,3] 		p阶p角星镶嵌
...
无限阶无限角星镶嵌[注 11] {∞/2,∞} node_1 infin rat d2 node infin node  {∞/2} {∞} 3 *∞.3.2
[∞,3] 		二分之无限阶无限边形镶嵌[注 11]
二分之无限阶无限边形镶嵌[注 11] {∞,∞/2} node_1 infin node infin rat d2 node  {∞} {∞/2} 3 *∞.3.2
[∞,3] 		无限阶无限角星镶嵌[注 11]

三维

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立方体堆砌{4,3,4}的边骨架

三维空间中只有一种正堆砌体，即立方体堆砌{4, 3, 4}：[7]

名称 施莱夫利
{p,q,r} 		考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
node p node q node r node  		胞
{p,q} 		面
{p} 		边图
{r} 		顶点图
{q,r} 		χ 对偶
立方体堆砌 {4,3,4} node_1 4 node 3 node 4 node  {4,3} {4} {4} {3,4} 0 自身对偶

四维

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名称 施莱夫利
{p,q,r,s} 		维面
{p,q,r} 		胞
{p,q} 		面
{p} 		面图
{s} 		边图
{r,s} 		顶点图
{q,r,s} 		对偶
超立方体堆砌 {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} 自身对偶
正十六胞体堆砌 {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
正二十四胞体堆砌 {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

超立方体堆砌
正十六胞体堆砌
正二十四胞体堆砌

五维

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五维空间的正堆砌仅有五维超立方体堆砌{4,3,3,3,4}[26]

名称 施莱夫利
{p,q,r,s,t} 		考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
node p node q node r node s node t node  		维面
{p,q,r,s} 		维脊
{p,q,r} 		胞
{p,q} 		面
{p} 		边图
{t} 		顶点图
{s,t} 		对偶
五维超立方体堆砌 {4,3,3,3,4} node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 4 node  {4,3,3,3} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} 自身对偶

六维以上

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δn 维度 名称 施莱夫利 考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
原位
{∞}n
(2m色, m<n) 		正
{4,3n-1,4}
(1色、n色) 		网格
{4,3n-4,31,1}
(2色)
δ6 五维（退化六维） 五维超立方体堆砌（英语：5-cube honeycomb） {∞}5
{4,33,4}
{4,32,31,1} 		labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10  node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 4 node_1  		node_1 4 node 3 node 3 node split1 nodes 
δ7 六维（退化七维） 六维超立方体堆砌（英语：6-cube honeycomb） {∞}6
{4,34,4}
{4,33,31,1} 		labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10  node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node_1  		node_1 4 node 3 node 3 node 3 node split1 nodes 
δ8 七维（退化八维） 七维超立方体堆砌（英语：7-cube honeycomb） {∞}7
{4,35,4}
{4,34,31,1} 		labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10  node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node_1  		node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node split1 nodes 
δ9 八维（退化九维） 八维超立方体堆砌（英语：8-cube honeycomb） {∞}8
{4,36,4}
{4,35,31,1} 		labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10  node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 4 node_1  		node_1 4 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node split1 nodes 
 
δn n-1维（退化n维） n-1维超立方体堆砌 {∞}n
{4,3n-3,4}
{4,3n-4,31,1} 		...

双曲

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六维或以上的维度皆不存在紧空间与仿紧空间的双曲堆砌。不过，任何的{p,q,r,s,...}形式（其中p,q,r,s,...是大于二的自然数或无限大）以上并不包括n维空间的非紧镶嵌。

非紧镶嵌
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非紧镶嵌的考克斯特群
维 总数 群
三维（退化四维） ∞ [3,3,7] ... [∞,∞,∞]: node 3 node 3 node 7 node  ... node infin node infin node infin node 

[4,3[3]] ... [∞,∞[3]]: node 4 node split1 branch  ... node infin node split1-ii branch labelinfin 
[5,41,1] ... [∞1,1,1]: node 5 node split1-44 nodes  ... node infin node split1-ii nodes 
... [(5,4,3,3)] ... [∞[4]]: ... label5 branch 4a3b branch  ... labelinfin branch iaib branch labelinfin 
... [4[]×[]] ... [∞[]×[]]: ... node split1-ii-i branch split2-ii node 
... [4[3,3]] ... [∞[3,3]]

四维（退化五维） 186 ...[3[3,3,3]]:pent  ...
五维（退化六维） 66
六维（退化七维） 36 [31,1,1,1,1,1]: node branch3 splitsplit2 node splitsplit1 branch3 node  ...
七维（退化八维） 13

[3,3,3[6]]:node 3 node 3 node split1 nodes 3ab nodes split2 node 
[3,3[6],3]:node 3 node split1 nodes 3ab nodes split2 node 3 node 
[3,3[2+4],3]:nodea 3a branch 3ab nodes 3ab branch 3a nodea 
[3,3[1+5],3]:nodes 3ab branch 3ab nodes 3ab branch 
[3[ ]e×[3]]:node splitsplit1 nodeabc 3abc nodeabc splitsplit2 node 

[4,3,3,33,1]:nodea 4a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 
[31,1,3,33,1]:nodea 3a branch 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 
[3,(3,3,4)1,1]:nodea 4a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 4a nodea 
nodea 3a branch 3a branch 3a nodea 3a nodea 4a nodea 
nodea 3a branch 3a branch 3a branch 3a nodea 
[32,1,3,32,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a branch 3a nodea 3a nodea 

[4,3,3,32,2]:node 4 node 3 node 3 node split1 nodes 3ab nodes 
[31,1,3,32,2]:nodes split2 node 3 node split1 nodes 3ab nodes 

八维（退化九维） 10

[3,3[3+4],3]:nodea 3a branch 3ab nodes 3ab nodes split2 node 3 node 
[3,3[9]]:node 3 node split1 nodes 3ab nodes 3ab nodes 3ab branch 
[3,3[2+5],3]:nodea 3a branch 3ab nodes 3ab nodes split5b nodes 

[32,1,32,32,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea  [33,1,33,4]:nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 4a nodea 

[33,1,3,3,31,1]:nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a branch 3a nodea 

[33,3,2]:nodes 3ab nodes 3ab nodes split2 node 3 node 3 node 

[32,2,4]:nodes 3ab nodes split2 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
[32,2,33,4]:nodes 3ab nodes split2 node 3 node 3 node 3 node 4 node 
[32,2,3,3,31,1]:nodes 3ab nodes split2 node 3 node 3 node split1 nodes 

九维（退化十维） 8 [3,3[8],3]:node 3 node split1 nodes 3ab nodes 3ab nodes split2 node 3 node 

[3,3[3+5],3]:nodea 3a branch 3ab nodes 3ab nodes 3ab branch 3a nodea 
[3,3[9]]:node 3 node split1 nodes 3ab nodes 3ab nodes 3ab branch 

[32,1,33,32,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea  [35,3,1]:nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 

[33,1,34,4]:nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 4a nodea 
[33,1,33,31,1]:nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 

[34,4,1]:nodes 3ab nodes 3ab nodes 3ab nodes split2 node 3 node 
十维（退化十一维） 4 [32,1,34,32,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea  [32,1,36,4]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 4a nodea 

[32,1,35,31,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 

[37,2,1]:nodea 3a nodea 3a branch 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 3a nodea 

复合正图形

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二维复合正多边形

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n=2..10, nk≤30的复合正多边形

2{2}
3{2}
4{2}
5{2}
6{2}
7{2}
8{2}
9{2}
10{2}
11{2}
12{2}
13{2}
14{2}
15{2}

2{3}
3{3}
4{3}
5{3}
6{3}
7{3}
8{3}
9{3}
10{3}
2{4}
3{4}
4{4}
5{4}
6{4}
7{4}

2{5}
3{5}
4{5}
5{5}
6{5}
2{5/2}
3{5/2}
4{5/2}
5{5/2}
6{5/2}
2{6}
3{6}
4{6}
5{6}

2{7}
3{7}
4{7}
2{7/2}
3{7/2}
4{7/2}
2{7/3}
3{7/3}
4{7/3}
2{8}
3{8}
2{8/3}
3{8/3}

2{9}
3{9}
2{9/2}
3{9/2}
2{9/4}
3{9/4}
2{10}
3{10}
2{10/3}
3{10/3}

2{11}
2{11/2}
2{11/3}
2{11/4}
2{11/5}
2{12}
2{12/5}
2{13}
2{13/2}
2{13/3}
2{13/4}
2{13/5}
2{13/6}

2{14}
2{14/3}
2{14/5}
2{15}（英语：Triacontagon）
2{15/2}
2{15/4}
2{15/7}

抽象正图形

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多面体
内侧菱形三十面体
十二合十二面体
内侧三角星化二十面体
双三斜十二面体
凹五角锥十二面体
顶点图 {5}, {5/2}
 (5.5/2)2
 {5}, {5/2}
 (5.5/3)3
面 30个菱形
 12个五边形
12个五角星
 20个六边形
 12个五边形
12个五角星
 20个六边形
镶嵌
{4, 5}
{5, 4}
{6, 5}
{5, 6}
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

参见

[编辑]

注释

[编辑]
  1. ^ 比如多边形、多面体这种包围有限空间的图形
  2. ^ 退化的形状，比如退化成平面的多面体，无法包围住一个有限空间的图形
  3. ^ 退化的形状，但是由于发散因此也无法包围住一个有限空间的图形
  4. ^ 多个形状组成的几何图形，例如二复合三角形（六角星）
  5. ^ -1维度就是空集合
  6. ^ 没有任何一种维度存在平面的星形正镶嵌、密铺或堆砌。
  7. ^ 即空多胞形
  8. ^ 点可以密铺于零维空间
  9. ^
  10. ^ 即使一百万边形被画成地球一样大，也很难与圆形区分。
  11. ^ 11.0 11.1 11.2 11.3 此无限为奇数的极限

参考文献

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  1. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 （Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, pp. 212–213） [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） PDF
  2. D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. （Dover Publications edition, 1958） Chapter X: The Regular Polytopes
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups Archive.is的存档，存档日期2013-06-30, JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 （1982）
  2. ^ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, http://arxiv.org/abs/1310.8608 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  3. ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [10 July 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-26）. 
  4. ^ 4.0 4.1 McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  5. ^ zero dimensional. planetmath.org. [2015-06-06]. （原始内容存档于2015-06-24）. 
  6. ^ Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics, Volume 3. Kluwer Academic Publishers. 1989: 190 [2016-07-15]. （原始内容存档于2019-09-05）. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. （Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296）
  8. ^ Coxeter Regular Polytopes（1973）[7], p. 129
  9. ^ Abstract Regular Polytopes（2002）[4], p. 30
  10. ^ Johnson (2012), p. 86
  11. ^ Coxeter Regular Polytopes（1973）[7], p. 120
  12. ^ Coxeter Regular Polytopes（1973）[7], p. 124
  13. ^ Richelot, Friedrich Julius. De resolutione algebraica aequationis X257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1832, 9: pp. 1–26, 146–161, 209–230, 337–358 （拉丁语）. 
  14. ^ Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry 2nd ed. New York: Wiley. February 1989. ISBN 978-0-471-50458-0. 
  15. ^ Hermes, Johann Gustav. Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (Göttingen). 1894, 3: pp. 170–186 （德语）. 
  16. ^ Hermes, Johann Gustav. Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (Göttingen). 1894, 3: pp. 170–186 [2016-08-10]. （原始内容存档于2017-01-11） （德语）. 
  17. ^ Weisstein, Eric W. (编). 257-gon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  18. ^ Weisstein, Eric W. (编). 65537-gon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  19. ^ Darling, David J., The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, John Wiley & Sons, 2004. Page 249. ISBN 0-471-27047-4.
  20. ^ Russell, Bertrand, History of Western Philosophy （页面存档备份，存于互联网档案馆）, reprint edition, Routledge, 2004, p. 202, ISBN 0-415-32505-6.
  21. ^ Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388
  22. ^ Weisstein, Eric W. (编). Digon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  23. ^ Weisstein, Eric W. (编). Pentagram. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  24. ^ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.
  25. ^ Coxeter Regular Polytopes（1973）[7], Table I: Regular polytopes, （iii） The three regular polytopes in n dimensions （n>=5）, pp. 294–295.
  26. ^ Coxeter Regular Polytopes（1973）[7], p. 296, Table II: Regular honeycombs

外部链接

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