考克斯特群

在数学中，考克斯特群是一类由空间中对超平面的镜射生成的群。这类群广泛出现于数学的各分支中，二面体群与正多胞体的对称群都是例子；此外，根系对应到的外尔群也是考克斯特群。这类群以数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特命名。

形式定义

所谓考克斯特群，是一个群 $W$ 写成如下的表达式，即由满足一些交互关系的生成元生成的群

$\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

其中 $m_{ij}\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 满足 $m_{ii}=1$ 以及 $m_{ij}\geq 2$ 对所有 $i\neq j$。在此 $m_{ij}=\infty$ 意指 $(r_{i}r_{j})^{m}$ 恒不等于单位元。

注意到 $r_{i}^{2}=e$；若 $m_{ij}=2$，则 $r_{i}r_{j}=r_{j}r_{i}$。且 m 满足对称性 $m_{ij}=m_{ji}$。

令这组生成元为 $S$。资料 $(W,S)$ 称为考克斯特群。方阵 $(m_{ij})_{ij}$ 称为考克斯特矩阵。

性质

有限考克斯特群的分类

设 $(W,S)$ 为考克斯特群，可证明存在一个有限维实矢量空间 $V$ 及其上的非退化双线性形 $q$（未必正定），使得 $W$ 同构于正交群 $O(q)$ 的某个子群。由于 $S$ 的元素均为二阶，可视之为 $(V,q)$ 中对某些超平面的镜射。

利用 $(W,S)$ 的展示，定义元素的长度如下：对 $w\in W$，定义其长度 $\ell (w)$ 为所有表法 $w=r_{i_{1}}\cdots r_{i_{s}}\;(r_{j}\in S)$ 中最短的 $s$。由此可导出

$\forall s\in S,\;\ell (ws)=\ell (w)\pm 1$

$\ell (w^{-1})=\ell (w)$

例子

• 对称群 $S_{n}$ 是考克斯特群。在此可取 $S$ 为置换 $(1,2),(2,3),\ldots ,(n-1,n)$；关系为 $((k,k+1)(k+1,k+2))^{3}=1$。

• 正多胞体的对称：正多胞体的对称群是有限考克斯特群。举例明之：正多边形的对称群是二面体群，正 n 维单形的对称群是前述的 $S_{n+1}$，又称为 $A_{n}$ 型的考克斯特群。n 维超正方体的对称群为 $BC_{n}$。正十二面体与正二十面体的对称群是 $H_{3}$。在四维空间中，存在三种特别的正多胞体──正二十四胞体、正一百二十胞体与正六百胞体，其对称群分别是 $F_{4},H_{4},H_{4}$。$D_{n},E_{6},E_{7},E_{8}$ 可以由某些半正多胞体的对称群得到。

• 外尔群：每个根系的外尔群都是有限考克斯特群。

• 仿射外尔群：仿射外尔群是无限群，但带有一个正则阿贝尔子群，使得对应的商群是个外尔群。

分类

一般而言，两个群展示的同构与否是无法判定的。然而对考克斯特群则有一个简单的判准，称为交换条件。可以透过考克斯特-丹金图分类有限考克斯特群。图的构造方式为：

1. 每个生成元对应到一个顶点。
2. 若 $m_{ij}\geq 3$，则顶点 $r_{i},r_{j}$ 之间有边相连。
3. 若 $m_{ij}\geq 4$，则将边标上 $m_{ij}$。

文献

• Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
• Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 档案下载 （页面存档备份，存于互联网档案馆） .
• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.