赋环空间

赋环空间 （ringed space） 在数学上系指一个拓扑空间配上一个交换环层，其中特别重要的一类是局部赋环空间。此概念在现代的代数几何学占重要角色。

定义

• 一个赋环空间是一组资料$(X,{\mathcal {O}}_{X})$，其中$X$为一拓扑空间而${\mathcal {O}}_{X}$是其上的交换环层。
• 若${\mathcal {O}}_{X}$在每一点的茎都是局部环，则称之局部赋环空间。

全体赋环空间构成一个范畴，$(X,{\mathcal {O}}_{X})$到$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$的态射是一组$(f,f^{\sharp })$，其中$f:X\rightarrow Y$是连续映射，$f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$是环层的态射（ $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$定义为$V\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$）。

局部赋环空间亦成一范畴，其态射除上述要求外，还须满足：对每一点$x\in X$，$f^{\sharp }$在茎上诱导的自然态射$f_{x}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$必须是局部的（若$(A,{\mathfrak {m}}),(B,{\mathfrak {n}})$是局部环，环同态$\phi :A\rightarrow B$满足$\phi ^{-1}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {n}}$，则称φ为局部的）。

例子

• 设$X$为任一拓扑空间，${\mathcal {O}}_{X}:U\mapsto C(U)$（$C(U)$表 U 上的连续函数），则$(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 成一局部赋环空间：${\mathcal {O}}_{X,x}$的唯一极大理想由在$x$消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射，反之亦然。
• 上述例子中的$X$可代以微分流形或复流形，并将${\mathcal {O}}_{X}(U)$代以$U$上的光滑函数或全纯函数。
• 交换环谱$(\mathrm {A} ,{\mathcal {O}}_{A})$。给定环同态$\phi :A\rightarrow B$，φ诱导出局部赋环空间的态射$(f,f^{\sharp })$；反之任一态射皆由环同态给出。

为了刻划这些态射，局部的条件在此不可或缺，它可被视为$X$与${\mathcal {O}}_{X}$之间的联系；例如，若不要求局部性，则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。