0的0次方

0的0次方（英语：Zero to the power of zero），写作 $0^{0}$ ，是极限的不定式之一，在排列组合以及群论中，常用的惯例是定义为1^{[注 1]}，在微积分中则通常没有定义，因为极限 $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ 不存在。而在不同的计算机程序语言中， $0^{0}$ 的表达式也并不相同；如C++将 $0^{0}$ 定义为1。

离散指数

许多涉及自然数指数的常用公式中必须将 $0^{0}$ 定义为1；例如，下列三个关于 $b^{0}$ 的解释使b=0的意义与正整数b相同：

将 $b^{0}$ 解释为空乘积
将 $b^{0}$ 组合解释为b元素集合中元素 0 元组的数量；而集合中正好有一个0元组
将 $b^{0}$ 的集合论解释为从空集合到 b 元素集合的函数数量；这样的函数只有一个，就是空函数。

以上三种解释均得出 $b^{0}$ =1。

定义的需求

微分式： ${\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$ 在x=0，n=1的时候将无法作用，除非 $0^{0}=1$ ，另外，如果不定义 $0^{0}$ ，就无法处理二项式定理 $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$ ，因为 $0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1$ 。