维基百科:台湾教育专案/台大物理系服务学习/113-1/弗兰克-塔姆公式

弗兰克–塔姆公式（英语：Frank–Tamm formula）给出了当带电粒子以超光速穿过介质时，在给定频率上发射的契忍可夫辐射量。它以俄罗斯物理学家伊利亚·弗兰克和伊戈尔·塔姆的名字命名。他们于1937年提出了契忍可夫辐射的理论，并解释了契忍可夫辐射的成因，因此与契忍可夫辐射的发现者苏联物理学家帕维尔·阿列克谢耶维奇·契忍可夫共同获得1958年的诺贝尔物理学奖。

当带电粒子在介质中的运动速度超过光在该介质中的相速度时，粒子与介质中的电子相互作用，并可以发射相干的光子，同时遵循能量与动量省恒定律守恒定律。这一过程可视为一种衰变现象。关于此效应的详细解释，请参考契忍可夫辐射以及无辐射条件。

方程式

粒子行经每单位长度 $dx$每单位频率 $d\omega$ 所放出的能量$dE$ 为： $${\frac {\partial ^{2}E}{\partial x\,\partial \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)$$ 前提是 $\beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}$。这里 $\mu (\omega )$ 和 $n(\omega )$ 分别是介质的频率相关磁导率和折射率，$q$是粒子的电荷，$v$是粒子的速度，并且$c$是真空中的光速。

契忍可夫辐射不具有典型的萤光或发射光谱特征峰：一频率的相对强度大约与该频率成正比。相反地，契忍可夫辐射的频率越高（波长越短）越强。这就是为什么可见的契忍可夫辐射被观察到呈现亮蓝色（可参见契忍可夫辐射中附图）。事实上，大多数契忍可夫辐射都在紫外光谱上。人眼对色光的敏感度在绿色处达到峰值，在光谱的紫色部分则非常低。

每单位长度辐射的总能量为： $${\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$ 此积分的区间是在能使粒子速度$v$大于介质中的光速${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$的频率$\omega$上，因此积分是收敛的（有限的），因为在高频处折射率变得小于1，而在极高频率处它变成1。

弗兰克–塔姆公式的推导

考虑带电粒子相对论性地沿具有折射率${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$的介质中的$x$轴以匀速${\vec {v}}=(v,0,0)$运动。从介质中的马克士威方程（高斯单位制）开始： $${\begin{aligned}\nabla \cdot {\vec {D}}\,\,\,&=4{\pi }{\rho }\\\nabla \times {\vec {H}}&={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

其中${\vec {D}}=\varepsilon (\omega ){\vec {B}}$为电位移，${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu (\omega )}}={\vec {B}}$为磁场强度。

透过傅立叶变换得： $${\begin{aligned}i{\vec {k}}\cdot {\vec {D}}({\vec {k}},\omega )\,\,\,&=4{\pi }{\rho }({\vec {k}},\omega )\\i{\vec {k}}\times {\vec {H}}({\vec {k}},\omega )&={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )-{\frac {i\omega }{c}}{\vec {D}}({\vec {k}},\omega )\end{aligned}}$$

傅立叶形式的电磁场与电位及磁向量势关系为： $${\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )&=-i{\vec {k}}\Phi ({\vec {k}},\omega )+{\frac {i\omega }{c}}{\vec {A}}({\vec {k}},\omega )\\{\vec {B}}({\vec {k}},\omega )&=i{\vec {k}}\times {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )\end{aligned}}$$

带入洛伦茨规范条件以及上述几式并简化，得：

$$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$ $$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )$$

对于一个带电量$ze$（$e$为基本电荷），以速度${\vec {v}}$移动的粒子，电荷密度和电流密度可表示为 $\rho ({\vec {x}},t)=q\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)$ 和 ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$，透过傅立叶变换得: $$\rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {q}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})$$ $${\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$

带入前面的算式，能得出傅立叶形式的电位：

$$\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2q}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$ 和磁向量势:$${\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$

带回傅立叶形式的电磁场与电位及磁向量势关系： $${\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )$$ $${\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$ 为求得辐射能量，我们考虑在垂直粒子轨迹某距离处做为频率函数的电场，例如$(0,b,0)$，其中$b$为撞击参数。由傅立叶逆变换给出： $${\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}$$

首先计算电场的$x$分量 $E_{1}$(平行于${\vec {v}}$): $$E_{1}(\omega )={\frac {2iq}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$ 为了简洁起见，我们定义${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$。将积分分解为$k_{1},k_{2},k_{3}$三个部分，$k_{1},$部分可以立即透过狄拉克δ函数的定义积分得： $$E_{1}(\omega )=-{\frac {2iq\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}$$

$k_{3}$部分积分后得 ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$，因此：

$$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}$$

$k_{2}$部分的积分为修正贝索函数，因此可得到平行分量： $$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)$$

对其他场分量进行相似的计算，得：

$E_{2}(\omega )={\frac {q}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad$ 和$\quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

我们现在可以考虑每粒子行经距离$dx_{\text{particle}}$所辐射的能量$dE$。其可以表示成通过一半径为$a$，包围着粒子移动路径的无限长圆柱体的电磁能量流$P_{a}$，即为坡印廷向量$\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$对此圆柱体面的积分： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx$$

对一瞬间的$dx$积分与对一个点上的所有时间积分等价。利用 $dx=v\,dt$： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\,dt$$

转换到频率的定义域： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\,d\omega \right)$$

为了讨论契忍可夫辐射的定义域，我们现在考虑垂直距离$b$远大于介质中的原子距离，即$|\lambda b|\gg 1$。有了这个假设，我们可以将贝塞尔函数展开为渐近形式： $$E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {iq\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}$$

$E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {q}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}$ 和 $B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

因此：

$$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)$$

如果$\lambda$含有正实数部(通常是如此)，指数项将导致上式在远距离处迅速消失，意即能量集中存在路径附近。然而，若$\lambda$是纯虚数则将不会如此–这将导致指数项变成1，并不再与$a$有关，这代表有部分能量以辐射的形式逃逸至无穷远处–这便是契忍可夫辐射。

若$\lambda$是纯虚数，则需要$\varepsilon (\omega )$为实数并且 $\beta ^{2}\varepsilon (\omega )>1$。也就是说，当$\varepsilon (\omega )$是实数时，契忍可夫辐射的条件为${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$。这就是契忍可夫辐射必须发生于粒子的速度大于介质中电磁场在频率$\omega$下的相速度的陈述。

借由$\lambda$为纯虚数的条件，得 ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ 且积分可简化为： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{\varepsilon (\omega )>{\frac {1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)\,d\omega ={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$

这便是高斯单位制下的弗兰克–塔姆公式

参考文献

• Mead, C. A. Quantum Theory of the Refractive Index. Physical Review. 1958, 110 (2): 359. Bibcode:1958PhRv..110..359M. doi:10.1103/PhysRev.110.359. 
• Cerenkov, P.A. Visible Radiation Produced by Electrons Moving in a Medium with Velocities Exceeding that of Light. Physical Review. 1937, 52 (4): 378. Bibcode:1937PhRv...52..378C. doi:10.1103/PhysRev.52.378. 

外部链接

• Cherenkov radiation (Tagged ‘Frank-Tamm formula’)