伪阿诺索夫映射

在数学的拓扑学中，伪阿诺索夫（Аносов）映射是曲面的一种同胚或微分同胚，是环面上的线性阿诺索夫微分同胚的推广。伪阿诺索夫映射的定义用到威廉·瑟斯顿提出的测度叶状结构概念。“伪阿诺索夫映射”这一名词，也是他证明曲面的微分同胚分类时所创。

测度叶状结构

一个闭曲面S上的测度叶状结构，是S上的一个几何结构，包含一个奇异叶状结构和横截方向的一个测度。在F的一个正则点的某个邻域中，有一个“流盒”（flow box）φ: U → R²，将F的叶映射至R²的水平线。当两个这样的邻域U_i, U_j相交，便有一个转移函数φ_ij在φ_j(U_j)上定义，有标准性质

$\phi _{ij}\circ \phi _{j}=\phi _{i},$

这函数必有形式

$\phi (x,y)=(f(x,y),c\pm y)$

其中c是某个常数。如此便保证了沿着一条简单曲线，用各个局部图卡测量的y座标的变差，是一个几何量（即独立于图卡），因此能够对S上的简单闭曲线定义全变差。容许F有有限多个“p-叉鞍”（p-pronged saddle）类型的奇异点（p≥3）。于每个奇异点处，改变曲线的微分结构，令奇异点变为全角度πp的锥顶点（conical point）。相对这个变更了的微分结构，来重新定义S的微分同胚概念。这些定义作技术上的改变，就可以延伸到有边界的曲面。

伪阿诺索夫映射的定义

闭曲面S的一个同胚

$f:S\to S$

称为伪阿诺索夫，若S上存在测度叶状结构的一个横截对F^s （稳定）及F^u （不稳定），及一个实数λ > 1，使得f保持这对叶状结构不变，而叶状结构的横截测度分别乘上1/λ及λ。这数量λ称为f的拉伸因子（stretch factor或dilatation）。

重要性

瑟斯顿构造了曲面S的泰希米勒空间T(S)的一个紧化，令S的任何微分同胚f诱导在T(S)上的作用，可以延伸成瑟斯顿紧化上的一个同胚。当f是伪阿诺索夫时，这个同胚的动态系统最为简单：在这情况下，在瑟斯顿边界有两个固定点，一吸引一排斥，而同胚的行为类似庞加莱半平面的双曲自同构。在亏格至少2的曲面上，一个“平常”的微分同胚是同痕于一个伪阿诺索夫微分同胚。

参考

• A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
• A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poénaru, "Travaux de Thurston sur les surfaces," Asterisque, Vols. 66 and 67 (1979).
• R.C. Penner. "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179–197
• Thurston, William P., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1988, 19 (2): 417–431, ISSN 0002-9904, MR 0956596, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6