从白炽灯 (1)发射出的光子处于完全随机偏振混合态(2),密度矩阵为
[
0.5
0
0
0.5
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}
。 通过垂直平面偏振器 (3)之后,光子处于垂直偏振纯态(4),密度矩阵为
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}
。
在量子力学 里,密度算符 (英语:density operator )与其对应的密度矩阵 (英语:density matrix )专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态矢量
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
来描述的量子态 ,混合态则是由几种纯态依照统计概率 组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的概率分别为
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……,则这混合态量子系统的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为
ρ
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
注意到所有概率的总和为1:
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
假设
{
|
b
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}}
是一组规范正交基 ,则对应于密度算符的密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
,其每一个元素
ϱ
i
j
{\displaystyle \varrho _{ij}}
为
ϱ
i
j
=
⟨
b
i
|
ρ
|
b
j
⟩
=
∑
k
w
k
⟨
b
i
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
b
j
⟩
{\displaystyle \varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle }
。
对于这量子系统,可观察量
A
{\displaystyle A}
的期望值 为
⟨
A
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
=
∑
i
⟨
b
i
|
ρ
A
|
b
i
⟩
=
tr
(
ρ
A
)
{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})}
,
是可观察量
A
{\displaystyle A}
对于每一个纯态的期望值
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
{\displaystyle \langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle }
乘以其权值
w
i
{\displaystyle w_{i}}
后的总和。
混合态量子系统出现的案例包括,处于热力学平衡 或化学平衡 的系统、制备历史不确定或随机 变化的系统(因此不知道到底系统处于哪个纯态)。假设量子系统处于由几个纠缠 在一起的子系统所组成的纯态,则虽然整个系统处于纯态,每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干 理论里,密度算符是重要理论工具。
密度算符是一种线性算符 ,是自伴算符 、非负算符 (英语:nonnegative operator )、迹数 为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼 与列夫·郎道 各自独立于1927年给出。[ 1] [ 2] :48-55 [ 3]
假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态矢量表示为
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
。几种纯态依照概率组成的量子态称为混合态。例如,假设一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
的概率都为50%,则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态,不管是纯态,还是混合态,都可以用密度矩阵表示。
混合态与叠加态 的概念不同,几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如,
(
|
ψ
1
⟩
+
|
ψ
2
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}}
是个纯态。
平面偏振(紫色)光波的电场(蓝色)可以分解为两个相互垂直的分量(红色与绿色)。
光子的两种圆偏振态 ,右旋圆偏振态与左旋圆偏振态,分别以态矢量
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
、
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
标记。光子也可能处于叠加态,例如,垂直偏振态与水平偏振态分别为
(
|
R
⟩
+
|
L
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}
、
(
|
R
⟩
−
|
L
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}}
。更一般地,光子偏振所处于的叠加态可以表示为
α
|
R
⟩
+
β
|
L
⟩
{\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }
;其中,
α
{\displaystyle \alpha }
、
β
{\displaystyle \beta }
是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。
假若让处于叠加态
(
|
R
⟩
+
|
L
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}
的光子通过左旋圆偏振器 ,则出射的光子处于左旋圆偏振态
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
;假若通过右旋圆偏振器 ,则出射的光子处于右旋圆偏振态
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
。对于这两种圆偏振模,光子强度都会减半,貌似意味着叠加态
(
|
R
⟩
+
|
L
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}
的一半光子处于量子态
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
,另一半处于量子态
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
,但这种解释并不正确,处于量子态
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
与
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
的光子都有可能被垂直平面偏振器 吸收,但是处于量子态
(
|
R
⟩
+
|
L
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}
的光子不会被垂直平面偏振器吸收。
从白炽灯 发射出的光子是一种非偏振态 光子,不能用叠加态
α
|
R
⟩
+
β
|
L
⟩
{\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }
来描述。特别而言,与平面偏振态光子不同,它通过任何偏振器后都会失去50%强度,与圆偏振态光子不同,使用波片 (waveplate)不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为,处于
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
的概率是50%,处于
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
的概率是50%。它也可以描述为,处于垂直偏振态的概率是50%,处于水平偏振态的概率是50%。
非偏振态光子的量子态不是纯态,而是由几种纯态依照统计概率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成,或者,它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分,因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料,足够计算任何关于混合态的可测量性质。
混合态到底源自何处?试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统,这系统拥有很多个微观态 (microstate),伴随每一个微观态都有其发生的概率(玻尔兹曼因子 ),它们会因热力学涨落 (thermal fluctuation)从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序,例如,将光束通过表面粗糙的双折射晶体 ,使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制 ,有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开,这纠缠系统的量子态为
(
|
R
,
L
⟩
+
|
L
,
R
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}
,整个系统是处于纯态,但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子,从分析光子子系统的约化密度算符,可以得到这结论。
一般而言,混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合(例如热力学平衡)、制备程序的不确定性(例如光子可能移动于稍微不同路径)、包含在纠缠系统内的子系统(例如EPR机制)。
假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态矢量表示为
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,对应的密度算符定义为[ 4] :309-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
。
从密度算符的形式,可以推论密度算符是自伴算符 :
ρ
†
=
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
†
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho }
。
假设,物理量
A
{\displaystyle A}
是这量子系统的可观察量 ,其本征值 为
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的本征态
|
a
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
形成一个规范正交基
{
|
a
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}
,则对可观察量
A
{\displaystyle A}
做测量得到
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的概率
P
(
a
i
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})}
为[ 5] :96-99
P
(
a
i
)
=
d
e
f
|
⟨
a
i
|
ψ
⟩
|
2
=
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
k
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
Λ
(
a
i
)
ρ
|
a
k
⟩
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}}
;
其中,
Λ
(
a
i
)
=
d
e
f
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
是对应于本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
的投影算符 ,[ 注 1]
tr
(
)
{\displaystyle {\hbox{tr}}()}
是迹数 。
做实验测量可观察量
A
{\displaystyle A}
获得的期望值 为
⟨
A
⟩
=
d
e
f
∑
i
a
i
P
(
a
i
)
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ρ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
a
i
|
A
ρ
|
a
i
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}}
。
这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则 (trace rule)。[ 6] :36 对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。采用任何规范正交基,都可以计算出同样迹数。[ 注 2] 另外,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性 ,这是很优良的性质,这意味着概率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。
由于
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
被归一化, 密度算符的迹数为1:
tr
(
ρ
)
=
tr
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
ψ
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}}
。
对于任意归一化量子态
ϕ
{\displaystyle \phi }
,
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
=
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
=
|
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
|
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1}
,
所以,密度算符是非负算符 (nonnegative operator)。
将先前纯态密度算符的定义式加以延伸,假设在一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的概率分别为
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……,则这混合态量子系统的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
每一个概率都是非负实值,所有概率的总和为1:
0
≤
w
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq w_{i}\leq 1}
,
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
按照“无知诠释”,这种量子系统确定是处于某个纯态
ψ
i
{\displaystyle \psi _{i}}
,但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为“真混合物”(proper mixture),否则,称为“瑕混合物”(improper mixture)。[ 7] [ 注 3]
回想在纯态段落里,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性 ,这意味着对于混合态的密度算符,这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符,也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质:
密度算符是自伴算符:
ρ
=
ρ
†
{\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}
。
密度算符的迹数为1:
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
对可观察量
A
{\displaystyle A}
做测量得到
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的概率为
P
(
a
i
)
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )}
。
做实验测量可观察量
A
{\displaystyle A}
获得的期望值 为
⟨
A
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )}
。
密度算符是非负算符:
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1}
。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
是自伴算符,它具有谱表示
ρ
=
∑
i
a
i
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
;
其中,
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
是本征值 为
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的本征态 ,所有
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
形成一个规范正交基 。
按照自伴算符的定义,每一个本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
是它自己的共轭:
a
i
=
a
i
∗
{\displaystyle a_{i}=a_{i}^{*}}
。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
是非负算符,每一个本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
都是非负值。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
的迹数为1,
∑
i
a
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}=1}
。
给定一个量子系统,其所有可能的密度算符组成一个凸集 。假设
ρ
i
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n}
属于这凸集,则
ρ
=
∑
i
c
i
ρ
i
{\displaystyle \rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}}
也属于这凸集;其中,
0
≤
c
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq c_{i}\leq 1}
是系数,
∑
i
c
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1}
。[ 2] :51
由于纯态的密度算符定义式为[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
,
所以纯态的密度算符具有特征
ρ
2
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{2}=\rho }
。
tr
(
ρ
2
)
=
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
否则,非纯态的密度算符遵守关系式
tr
(
ρ
2
)
<
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
另外,将纯态的密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
对角化后,只能有一个对角元素等于1,其它对角元素都等于0,例如,一种形式为[ 8] :178-183
ϱ
=
[
0
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
0
]
{\displaystyle \varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}
。
量子态的纯度
γ
{\displaystyle \gamma }
定义为
γ
=
tr
(
ρ
2
)
{\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})}
。
纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态,其对角元素的数值为
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
、非对角元素的数值为0,其纯度为
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
。[ 6] :40-41
冯诺伊曼熵 是另一种描述量子态混合程度的量度。
位置 是一种连续性 可观察量,具有连续性本征值谱,用这种可观察量的连续性本征态为基底,密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
含有两个位置参数
x
′
{\displaystyle x'}
、
x
″
{\displaystyle x''}
:[ 8] :186
ϱ
(
x
′
,
x
″
)
=
∑
i
w
i
ψ
i
(
x
′
)
ψ
i
∗
(
x
″
)
{\displaystyle \varrho (x',x'')=\sum _{i}w_{i}\psi _{i}(x')\psi _{i}^{*}(x'')}
。
可观察量
A
{\displaystyle A}
的期望值为
⟨
A
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
=
∫
d
x
′
∫
d
x
″
⟨
x
′
|
A
|
x
″
⟩
⟨
x
″
|
ρ
|
x
′
⟩
{\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )=\int \mathrm {d} x'\int \mathrm {d} x''\langle x'|A|x''\rangle \langle x''|\rho |x'\rangle }
。
假设密度算符为
ρ
{\displaystyle \rho }
的复合系统是由两个子系统
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
组成,这两个子系统的物理行为分别由其对应约化密度算符 (reduced density operator)
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
、
ρ
B
{\displaystyle \rho _{B}}
描述:[ 4] :120-125,128-129 [ 注 3]
ρ
A
=
tr
B
(
ρ
)
{\displaystyle \rho _{A}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )}
、
ρ
B
=
tr
A
(
ρ
)
{\displaystyle \rho _{B}={\hbox{tr}}_{A}(\rho )}
;
其中,
tr
B
{\displaystyle {\hbox{tr}}_{B}}
、
tr
A
{\displaystyle {\hbox{tr}}_{A}}
分别是对于子系统
B
{\displaystyle B}
、
A
{\displaystyle A}
的偏迹数 (partial trace)。
这复合系统的两个子系统之间没有任何关联(没有任何量子关联 或经典关联),当且仅当
ρ
{\displaystyle \rho }
是
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
与
ρ
B
{\displaystyle \rho _{B}}
的张量积 :
ρ
=
ρ
A
⊗
ρ
B
{\displaystyle \rho =\rho _{A}\otimes \rho _{B}}
。
约化密度算符最先由保罗·狄拉克 于1930年提出[ 9] 。假设两个希尔伯特空间
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
的规范正交基 分别为
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
、
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
,分别在这两个希尔伯特空间
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
的两个子系统
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
所组成的复合系统,其量子态为纯态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,其密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为
ρ
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}
。
取密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
对于子系统
B
{\displaystyle B}
的偏迹数 ,可以得到子系统
A
{\displaystyle A}
的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
:
ρ
A
=
d
e
f
∑
j
⟨
b
j
|
B
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
|
b
j
⟩
B
=
tr
B
(
ρ
)
{\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )}
。
例如,纠缠态
|
ψ
⟩
A
B
=
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
−
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
/
2
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}
,其子系统
A
{\displaystyle A}
的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
为
ρ
A
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⟨
0
|
A
+
|
1
⟩
A
⟨
1
|
A
)
{\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}}
。
如同预想,这公式演示出,子系统
A
{\displaystyle A}
的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
为混合态。
设定施特恩-格拉赫实验 仪器的磁场方向为z-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道银原子束代表一种量子态,上旋
|
↑
⟩
{\displaystyle |\uparrow \rangle }
或下旋
|
↓
⟩
{\displaystyle |\downarrow \rangle }
。
如右图所示,使用z-轴方向的施特恩-格拉赫实验 仪器,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量
S
z
{\displaystyle S_{z}}
分裂成两道,一道的
S
z
{\displaystyle S_{z}}
为上旋,标记为
|
z
+
⟩
{\displaystyle |z+\rangle }
,另一道的
S
z
{\displaystyle S_{z}}
为下旋,标记为
|
z
−
⟩
{\displaystyle |z-\rangle }
。
态矢量:
|
z
+
⟩
=
[
1
0
]
{\displaystyle |z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
z
+
=
|
z
+
⟩
⟨
z
+
|
=
[
1
0
]
[
1
0
]
=
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle \varrho _{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
z
−
⟩
=
[
0
1
]
{\displaystyle |z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
z
−
=
|
z
−
⟩
⟨
z
−
|
=
[
0
1
]
[
0
1
]
=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle \varrho _{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
x
+
⟩
=
[
1
2
1
2
]
{\displaystyle |x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
x
+
=
|
x
+
⟩
⟨
x
+
|
=
[
1
2
1
2
]
[
1
2
1
2
]
=
[
1
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
x
−
⟩
=
[
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle |x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
x
−
=
|
x
−
⟩
⟨
x
−
|
=
[
1
2
−
1
2
]
[
1
2
−
1
2
]
=
[
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
y
+
⟩
=
[
1
2
i
2
]
{\displaystyle |y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
y
+
=
|
y
+
⟩
⟨
y
+
|
=
[
1
2
i
2
]
[
1
2
−
i
2
]
=
[
1
2
−
i
2
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
y
−
⟩
=
[
1
2
−
i
2
]
{\displaystyle |y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
y
−
=
|
y
−
⟩
⟨
y
−
|
=
[
1
2
−
i
2
]
[
1
2
i
2
]
=
[
1
2
i
2
−
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
完全随机粒子束的量子态不是纯态,它可以由50%
|
z
+
⟩
{\displaystyle |z+\rangle }
纯态与50%
|
z
−
⟩
{\displaystyle |z-\rangle }
纯态组成:
ϱ
=
1
2
ϱ
z
+
+
1
2
ϱ
z
−
=
1
2
[
[
1
0
0
0
]
+
[
0
0
0
1
]
]
=
[
0.5
0
0
0.5
]
{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{z+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{z-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}
。
它也可以由50%
|
x
+
⟩
{\displaystyle |x+\rangle }
纯态与50%
|
x
−
⟩
{\displaystyle |x-\rangle }
纯态组成:
ϱ
=
1
2
ϱ
x
+
+
1
2
ϱ
x
−
=
1
2
[
[
0.5
0.5
0.5
0.5
]
+
[
0.5
−
0.5
−
0.5
0.5
]
]
=
[
0.5
0
0
0.5
]
{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{x+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{x-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}0.5&0.5\\0.5&0.5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}
。
另外,它还可以由50%
|
y
+
⟩
{\displaystyle |y+\rangle }
纯态与50%
|
y
−
⟩
{\displaystyle |y-\rangle }
纯态组成,因此可见,不同的组合仍可得到同样的混合态。
一般而言,完全随机粒子束的
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
,经过对角化之后,可以写为[ 8] :186
ϱ
=
1
N
[
1
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}}
。
对于一组能量本征态
|
ψ
n
⟩
{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }
,热平衡 下的混态 :
ρ
=
∑
n
ω
n
|
ψ
n
⟩
⟨
ψ
n
|
{\displaystyle \rho =\sum _{n}\omega _{n}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|}
其中
p
n
=
exp
(
−
E
n
/
k
T
)
/
Z
{\displaystyle p_{n}=\exp(-E_{n}/kT)/Z}
,以及
Z
=
∑
n
exp
(
−
E
n
/
k
T
)
{\displaystyle Z=\displaystyle {\textstyle \sum _{n}}\exp(-E_{n}/kT)}
是配分函数 。对于不含时哈密顿算符,热平衡的混态是不随时间演化的。[ 10]
薛定谔方程描述纯态怎样随着时间流逝而演化,冯诺伊曼方程描述密度算符怎样随着时间流逝而演化。实际而言,这两种方程等价,因为它们彼此都可以推导出对方。假设,在时间
t
0
{\displaystyle t_{0}}
,量子系统的密度算符为
ρ
(
t
0
)
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
{\displaystyle \rho (t_{0})=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|}
;
其中,量子系统在时间
t
0
{\displaystyle t_{0}}
处于纯态
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}(t_{0})\rangle }
的概率是
w
i
{\displaystyle w_{i}}
假若不搅扰这量子系统,则概率
w
i
{\displaystyle w_{i}}
跟时间无关。在时间
t
{\displaystyle t}
,纯态
|
ψ
i
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle }
遵守含时薛定谔方程
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
i
(
t
)
⟩
=
H
|
ψ
i
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{i}(t)\rangle =H|\psi _{i}(t)\rangle }
,
其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是约化普朗克常数,
H
{\displaystyle H}
是哈密顿算符 。
所以,冯诺伊曼方程表示为[ 11] [ 12]
i
ℏ
∂
∂
t
ρ
(
t
)
=
∑
i
w
i
(
H
|
ψ
i
(
t
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
)
|
−
|
ψ
i
(
t
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
)
|
H
)
=
−
[
ρ
,
H
]
{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}(H|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|-|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|H)\\&=-[\rho ,H]\\\end{aligned}}}
;
其中,方括弧代表对易算符 。
注意到只有当采用薛定谔绘景 时(必须采用薛定谔绘景来计算密度算符)这方程才成立,虽然这方程看起来很像海森堡绘景 的海森堡方程 ,唯一差别是关键的正负号:
d
A
(
H
)
d
t
=
−
i
ℏ
[
A
(
H
)
,
H
]
{\displaystyle {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\ {\frac {i}{\hbar }}[A^{(H)},H]}
;
其中,
A
(
H
)
{\displaystyle A^{(H)}}
是某种采用海森堡绘景 的算符。
在海森堡绘景里,密度算符与时间无关,正负号差别确使期望值
⟨
A
⟩
{\displaystyle \langle A\rangle }
对于时间的导数会得到与薛定谔绘景相同的结果。[ 注 4]
假若哈密顿算符不含时,则可从冯诺伊曼方程推导出
ρ
(
t
)
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
ρ
(
0
)
e
i
H
t
/
ℏ
{\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }}
。
对于两体纯态系统,冯诺伊曼熵
σ
{\displaystyle \sigma }
(竖轴)与本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
(横轴)之间的关系曲线。
在量子统计力学 (quantum statistical mechanics)里,冯诺伊曼熵 (von Neumann entropy)是经典统计力学关于熵 概念的延伸。对于密度矩阵为
ϱ
{\displaystyle \varrho }
的混合态,冯诺伊曼熵定义为[ 13] :301
σ
=
d
e
f
−
t
r
(
ϱ
ln
ϱ
)
{\displaystyle \sigma \ {\stackrel {def}{=}}\ -\mathrm {tr} (\varrho \ln \varrho )}
。
这公式涉及到矩阵对数 (logarithm of a matrix),似乎很难计算,[ 注 5] 但密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
是自伴算符,具有谱表示[ 8] :186-188
ρ
=
∑
i
a
i
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
;
其中,
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
是本征值 为
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的本征态 ,所有
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
形成一个规范正交基 。
因此,可以将密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
对角化,将冯诺伊曼熵更简单地以对角化后的密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
定义为
σ
=
−
∑
i
ϱ
i
i
ln
ϱ
i
i
{\displaystyle \sigma =-\sum _{i}\varrho _{ii}\ln \varrho _{ii}}
。
冯诺伊曼熵
σ
{\displaystyle \sigma }
又可以写为
σ
=
−
∑
i
a
i
ln
a
i
{\displaystyle \sigma =-\sum _{i}a_{i}\ln a_{i}}
。
从这形式,可以推论冯诺伊曼熵与经典资讯论 里的香农熵 (Shannon entropy)相关。[ 13]
在这里,可以视每一个本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
为处于本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
的概率。假若某事件的发生概率为零,则这事件不应贡献出丝毫冯诺伊曼熵。从数学而言,以下极限为零:
lim
a
→
0
a
log
a
=
0
{\displaystyle \lim _{a\to 0}a\log a=0}
。
因此,可以采用约定
0
log
0
=
0
{\displaystyle 0\log 0=0}
。
纯态的冯诺伊曼熵为零,因为其密度矩阵对角化之后,只有一个元素为1,其它均为0。即所有对角元素
a
i
{\displaystyle a_{i}}
必定满足
a
i
=
0
{\displaystyle a_{i}=0}
或
ln
a
i
=
0
{\displaystyle \ln a_{i}=0}
。
完全随机混合态的
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
密度矩阵,其冯诺伊曼熵
σ
{\displaystyle \sigma }
为
σ
=
−
∑
i
1
N
ln
1
N
=
ln
N
{\displaystyle \sigma =-\sum _{i}{\frac {1}{N}}\ln {\frac {1}{N}}=\ln N}
。
假若,将冯诺伊曼熵视为量子系统失序现象的一种量度,则纯态拥有最小的冯诺伊曼熵
0
{\displaystyle 0}
,而完全随机混合态拥有最大的冯诺伊曼熵
ln
N
{\displaystyle \ln N}
。
每一次做投影测量 ,冯诺伊曼熵都会增加,永远不会减少,但是,对于广义测量 (generalized measurement),冯诺伊曼熵可能会减少。[ 14] [ 15] 混合态的冯诺伊曼熵永远不小于零。因此,纯态可以通过投影测量改变为混合态,但是,非纯态的混合态永远无法通过投影测量改变为纯态。投影测量这动作促成了一种基本不可逆性的对于密度算符的改变,如同波函数坍缩 。实际而言,相当反直觉地,投影测量这动作抹除了复合系统的量子相干性 。更详尽内容,请参阅条目量子退相干 。
一个量子系统的子系统可以从混合态改变为纯态,但是所附出的代价是其它部分的冯诺伊曼熵会增加,就好似将一个物体放进冰箱来降低其熵 ,冰箱热交换器外的空气会变暖,而所增加的熵会比物体所减少的熵更多。更详尽内容,请参阅条目热力学第二定律 。
^ 对于本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
的投影算符
Λ
(
a
i
)
{\displaystyle \Lambda (a_{i})}
,假若作用于量子态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,则会得到
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
与对应概率幅 的乘积:
Λ
(
a
i
)
|
ψ
⟩
=
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
c
i
|
a
i
⟩
{\displaystyle \Lambda (a_{i})|\psi \rangle =|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =c_{i}|a_{i}\rangle }
;
其中,
c
i
{\displaystyle c_{i}}
是在本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
里找到
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的概率幅 。
^ 给定两个规范正交基
{
|
a
i
⟩
}
,
{
|
b
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \},\{|b_{i}\rangle \}}
,对于任意算符
W
{\displaystyle W}
,
tr
(
W
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
a
i
|
b
j
⟩
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
b
j
⟩
=
∑
j
⟨
b
j
|
W
|
b
j
⟩
{\displaystyle \operatorname {tr} (W)=\sum _{i}\langle a_{i}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle a_{i}|b_{j}\rangle \langle b_{j}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle b_{j}|W|a_{i}\rangle \langle a_{i}|b_{j}\rangle =\sum _{j}\langle b_{j}|W|b_{j}\rangle }
。
因此,对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。
^ 3.0 3.1 在量子退相干 里,约化密度算符 代表的是反常混合物,它不能被视为处于某个未知的纯态;它是依赖环境与系统之间的相互作用使得所有的非对角元素趋于零,实际而言,这些非对角元素所表现的量子相干性 已被迁移至环境,只有从整个密度算符才能查觉到这量子相干性的存在。[ 6] :48-49
^ 在薛定谔绘景里,纯态随着时间而演化的形式为
|
ψ
i
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle =e^{-iH(t-t_{0})}|\psi _{i}(t_{0})\rangle }
。
因此,密度算符与时间无关:
ρ
(
t
)
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
(
t
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
)
|
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
e
i
H
(
t
−
t
0
)
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle e^{iH(t-t_{0})}e^{-iH(t-t_{0})}\langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\\end{aligned}}}
。
采用薛定谔绘景来计算密度算符这动作很合理,因为密度算符是由薛定谔左矢与薛定谔右矢共同组成,而这两个矢量都是随着时间流逝而演进。
^ 矩阵对数 (logarithm of a matrix)也是矩阵;后者的矩阵指数 等于前者。这是纯对数 的推广。这运算是矩阵指数的反函数 。并不是所有矩阵都有对数,有些矩阵有很多个对数。
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