差分机

关于威廉·吉布森与布鲁斯·斯特林共同撰写的小说，请见“差分机 (小说)”。

差分机一号的1/7完成品

后人制造的差分机二号

差分机（Difference engine），是英国科学家查尔斯·巴贝奇研发的自动化数学机器。

差分机一号

巴贝奇设计计算机器的基本想法是利用“机器”将计算到印刷的过程全部自动化，全面去除人为疏失（如：计算错误、抄写错误、校对错误、印制错误等）。而差分机一号（Difference Engine No.1）则是利用N次多项式求值会有共通的N次阶差的特性，以齿轮运转，带动十进制的数值相加减、进位。

差分机一号（Difference Engine No.1）由英国政府出资，工匠约瑟夫·克莱芒打造，预计完工需要25,000个零件（大致均分在计算和印刷两部分），重达4吨，可计算到第六阶差，最高可以存16位数（相当于千兆的数）。但因为大量精密零件制造困难，加上巴贝奇不停地边制造边修改设计，从1822到1832年的十年间，巴贝奇只能拿出完成品的1/7部分来展示，不过差分机运转的精密程度仍令当时的人们叹为观止，至今依然是人类踏进科技的一个重大起步。

巴贝奇不断延后完成期限的严重超支（英国政府在1842年的最后清算发现整个计划一共让国库支出了￡17,500）、制作过程不断修改设计、时常与克莱芒发生冲突等诸多原因，让完整的差分机一号一直未能完成，一万两千多个还没用到的精密零件后来都被熔解报废。

运作原理

简单来说，差分机就是一台多项式求值机，只要将欲求多项式方程的前3个初始值输入到机器里，机器每运转一轮，就能产生出一个值来。假设以 $F(x)=x^{2}+4$ 为例，差分机得出来的结果，就会是 $F(1)=5$、$F(2)=8$、$F(3)=13$、$F(4)=20$……等，直到系统停止为止。机器运作最重要的基础，在于求出多项方程式的结果完全只需要用到加法与减法。

在 $F(x)=x^{2}+4$ 这个例子中，第一步是先算出 $F(1)$ 和 $F(2)$ 之间的差（$8-5=3$），称为第一阶差（First Difference）。如果这个值和 $F(2)$ 及 $F(3)$ 之间的差（$13-8=5$）不同的话，就拿这两个第一阶差再算一次差（$5-3=2$），称为第二阶差（Second Difference）。在这个例子里，每一个第二阶差都是 $2$，所以就不用再算下去了。所以可以推论出一次方程式最多只会有第一阶差、二次方程式会有第二阶差、$N$ 次方程则会到第 $N$ 阶差。而有了这个固定不变的差数后，就可以开始往前推算回去，接下来的每一个值，就是将差数和前一阶的上一个值相加，即可获得。例如求 $F(4)$ 时，先将第二阶差 $2$ 加上第一阶差的值 $5$ 得到 $7$，再将 $7$ 加上 $F(3)$ 的值 $13$，就会得到 $F(4)=20$，以此类推。不断重复的特性却很适合机械运算。

具体来讲巴贝奇差分机是用蒸汽机为动力，驱动大量的齿轮机构运转。 巴贝奇的分析机大体上有三大部分：其一是齿轮式的“存贮库”，巴贝奇称它为“仓库”（Store），每个齿轮可贮存10个数，齿轮组成的阵列总共能够储存1000个50位数。分析机的第二个部件是所谓“运算室”，它被巴贝奇命名为“作坊”（Mill），其基本原理与帕斯卡的转轮相似，用齿轮间的啮合、旋转、平移等方式进行数字运算。为了加快运算速度，他改进了进位装置，使得50位数加50位数的运算可完成于一次转轮之中。第三部分巴贝奇没有为它具体命名，其功能是以杰卡德穿孔卡中的“0”和“1”来控制运算操作的顺序，类似于电脑里的控制器。他甚至还考虑到如何使这台机器处理依条件转移的动作，比如，第一步运算结果若是“1”，就接着做乘法，若是“0”就进行除法运算。此外，巴贝奇也构思了送入和取出数据的机构，以及在“仓库”和“作坊”之间不断往返运输数据的部件。

差分机二号

差分机二号（或称大型差分机）在1849年设计出来，却在有生之年只实作了很小一部分。这台机器可以进行相当复杂的数学计算，具有31位元精度。

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