微分同胚

在数学中，微分同胚是适用于微分流形范畴的同构概念。这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。

定义

对给定的两个微分流形$M,N$，若对光滑映射$f:M\to N$，存在光滑映射$g:N\to M$使得$f\circ g=\mathrm {id} _{N}$、$g\circ f=\mathrm {id} _{M}$，则称$f$为微分同胚。此时逆映射$g$是唯一的。

若在微分流形$M,N$之间存在微分同胚，则称$M$与$N$是微分同胚的，通常记为$M\simeq N$。

对于$C^{r}$流形，可采同样办法定义$C^{r}$微分同胚之概念。

例子

考虑

$\mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq S^{1}$

此微分同胚可由下述映射给出：

$x\mapsto e^{2\pi ix}.$

与同胚的关系

对维度$\leq 3$的流形，可证明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例，最早的构造是约翰·米尔诺的七维怪球，米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构，它们都可表成某个在$S^{4}$上的$S^{3}$-丛。在1980年代，西蒙·唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在$\mathbb {R} ^{4}$上有不可数个相异的微分结构。

外部链接

• D.V. Anosov, Diffeomorphism, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4