拉开

在数学中，拉开（法文：éclatement，英文：blowing up）、单项变换或σ-过程是一种几何的操作，代数几何中的应用尤重。拉开是双有理几何的基本工具。对代数簇或复流形 $M$ 上一点 $Z$ 的拉开是将该点换为该点法丛的射影丛，或者具体地说是换为该点切空间的射影空间，从而得到拉开态射 $\mathrm {Bl} _{Z}:{\tilde {M}}\rightarrow M$，这是一个双有理等价。对较高维子流形也能定义拉开。

当代代数几何学将拉开视为对概形的内在操作，然而拉开也有外在的描述法，例如取一平面曲线，并对它所处的射影平面作某类变换；这是古典的进路，其想法至今仍反映于用语上。

对仿射空间中一点作拉开

以下仅考虑复数域 $\mathbb {C}$ 上的情形，一般构造准此可知。

令 $Z$ 为复仿射空间 $\mathbb {C} ^{n}$ 的原点，仿射空间的元素以坐标表为 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$。令 $\mathbb {P} ^{n-1}$ 为 $(n-1)$-维复射影空间，其元素以齐次坐标表示为 $(y_{1}:\ldots :y_{n})$。 令 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 为 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}$ 中由等式 $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ 定义之闭子集，其中 $i,j=1,\ldots ,n$。则投影态射

$\pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}$

自然地导出态射（特别也是全纯函数）

$\pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.$

此态射 $\pi$（或者更常指空间 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$）称为 $\mathbb {C} ^{n}$ 的拉开。

例外除数 $E$ 定义为 $Z$ 对态射 $\pi$ 的逆像。可以证明

$E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}$

同构于射影空间。它是个非负除数，而且在 $E$ 之外 $\pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z$ 是同构。因此 $\pi$ 是 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 与 $\mathbb {C} ^{n}$ 之同构。

对复流形的子流形作拉开

一般来说，我们可以开任何余维为 $k$ 的复子流形 $Z\subset \mathbb {C} ^{n}$。设 $Z$ 由方程式 $x_{1}=\cdots =x_{k}=0$定义，并设 $(y_{1}:\ldots :y_{k})$ 为 $\mathbb {P} ^{k-1}$ 上的齐次坐标。沿 $Z$ 的拉开 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 定义为方程 $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$（对所有 $i,j$ ）在空间 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}$ 中定义的闭子集。

进一步推广，我们可拉开任何复流形 $X$ 的任一复子流形 $Z$，方式是局部上化约到上述情形，拉开后再予以黏合。效果依然，我们将 $Z$ 拉开为例外除子 $E$。而拉开态射

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

依然是双有理的，并在 $E$ 外是同构。 $E$ 可自然地视作 $Z$ 的法丛的射影化，因此 $\pi |_{E}:E\to Z$ 局部上是纤维化映射，其纤维为 $\mathbb {P} ^{k-1}$。

由于 $E$ 是平滑除子，其法丛为线丛。对于曲面的情形，可证明 $E$ 的自相交数为负，这表明其法丛没有整体上定义的截面。$E$ 是其同调类在 ${\tilde {X}}$ 上的唯一代表，原因在于：假设 $E$ 经扰动后变为代表同一同调类的另一个复子流形，则它和 $E$ 的相交数必为正，故矛盾。这是例外除子之所以“例外”之故。

设 $V$ 维某个 $X$ 中不等于 $Z$ 的复子流形。若 $V$ 不交 $Z$，则它本质上不受沿 $Z$ 的拉开影响。然而若有相交，则 $V$ 在 ${\tilde {X}}$ 中导出两个几何对象：一者是真变换或称严格变换，它是 $\pi ^{-1}(V\setminus Z)$ 在 ${\tilde {X}}$ 中的闭包，其法丛一般与 $V$ 的不同。另一者是全变换，包含 $E$ 的全体或一部分，其同调类基本上是 $V$ 的上同调类之拉回。

推广：概形的拉开

拉开可以在一般的概形上定义。令 $X$ 为一概形，并设 ${\mathcal {I}}$ 为其上一凝聚理想层，$X$ 沿 ${\mathcal {I}}$ 的拉开是概形 ${\tilde {X}}$ 及真态射

$\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$

使得 $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ 是可逆层，此拉开由下述泛性质刻划：

对任何态射 $f:Y\rightarrow X$，若它使得 $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ 是可逆层，则 $f$ 唯一地透过 $\pi$ 分解。

此拉开可具体地由

${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})$

构造。当 $X$ 是拟射影概形时，$\pi$ 将是射影态射。

重要性质

曲面的拉开

在平滑的射影曲面上，任何双有理等价皆可分解为一系列的拉开与缩回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分类中的基本工具：

定理 . 设 $X$ 为平滑射影曲面，$D=\sum C_{i}$ 为 $X$ 上一个既约除数，若其相交矩阵 $(C_{i}\cdot C_{j})_{ij}$ 负定，则 $X$ 可表成某个代数曲面的拉开，使得 $D$ 为其例外除数。

相关的建构

向法锥变形

向法锥变形的技术可以证明代数几何中的许多结果。给定一个概形 $X$ 及其闭子概形 $V$，我们在 $Y:=X\times \mathbb {A} ^{1}$ 中拉开 $V\times (0)$，则

${\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}$

是纤维化映射。沿着 $\mathbb {A} ^{1}$ 的一般纤维自然同构于 $X$，而中心纤维则是两个概形的并集：一者是 $X$ 沿 $V$ 的拉开；另一者则是 $V$ 的法锥，其中我们将纤维紧化为射影空间。

辛流形的拉开

拉开也可以在辛流形的范畴中施行，称作辛拉开。方式是将辛流形赋予殆复结构，然后仿照复拉开的模式。然而这仅在拓扑层次上有意义，我们必须小心地为拉开后的空间赋予一个辛形式，因为我们不能任意将辛形式沿例外除数 $E$ 延拓，而必须在 $E$ 的一个邻域上修改之；或借着将 $Z$ 的一个开邻域切下，然后适当地折叠边界以完成拉开。较好的理解方式是利用辛切割的一般理论，其中辛拉开只是个特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除数向法锥变形的类比。

文献

• Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98549-7. 
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 978-0-471-32792-9. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9. 
• McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 978-0-19-850451-1.