科恩-麦考利环

在交换代数中，Cohen-Macaulay环是对应到一类代数几何性质（例如局部等维性）的交换环。

此概念依数学家弗朗西斯·索尔比·麦考利（Francis Sowerby Macaulay）与欧文·索尔·科恩（Irvin S. Cohen） 命名，麦考利（1916年）证明了多项式环的纯粹性定理，科恩（1946年）则证明了幂级数环的情形；事实上所有Cohen-Macaulay环都具纯粹性。

形式定义

若交换局部环 $(R,{\mathfrak {m}})$ 满足 $\mathrm {depth} _{\mathfrak {m}}(R)=\dim R$，其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数，则称之为Cohen-Macaulay环。此性质在局部化之下不变。

一般而言，若交换环 $R$ 对所有素理想的局部化皆为Cohen-Macaulay环，则称之为Cohen-Macaulay 环。

若一个概形的所有局部环皆为Cohen-Macaulay环，称之为Cohen-Macaulay概形。

例子

• 正则局部环皆为 Cohen-Macaulay 环。
• Gorenstein环皆为 Cohen-Macaulay，其中重要的特例是完全交环。
• 有理奇点对应到 Cohen-Macaulay 环，却不一定是 Gorenstein 环。
• 阿廷环皆为 Cohen-Macaulay 环。
• 设 $k$ 为域，幂级数环 $k[[t]]$ 的一维子环 $k[[t^{2},t^{5}]]$ 并非正则环，而仍属 Gorenstein 环。
• 承上，$k[[t^{3},t^{4},t^{5}]]$ 并非 Gorenstein 环，而仍属 Cohen-Macaulay 环。
• 一般而言，任何一维的诺特整环都是 Cohen-Macaulay 环。

几何诠释

Cohen-Macaulay 条件的一种诠释见诸凝聚对偶性，其中模的“对偶化对象”本属于某个导范畴，当考虑的环是 Cohen-Macaulay 环时，该对象可由某个模代表。Gorenstein 条件则更精细，它断言此对偶对象由可逆层代表。正则性最强，它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点，Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广，在此框架下可以证明较广的几何定理。

纯粹性定理

设 $R$ 为诺特环，$I\subset R$ 为其理想。若对每个 $R/I$ 的相伴素理想 ${\mathfrak {p}}$ 皆有 $\mathrm {ht} (I)=\mathrm {ht} ({\mathfrak {p}})$，则称 $I$ 为纯粹的。若每个能由 $\mathrm {ht} (I)$ 个元素生成之理想 $I$ 都是纯粹的，则称 $R$ 满足纯粹性定理。一个诺特环 $R$ 满足纯粹性定理当且仅当它是 Cohen-Macaulay 环。

文献

• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings Trans. Amer. Math. Soc. , 59 (1946) pp. 54–106
• V.I. Danilov, Cohen-Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer), ISBN 0-387-94268-8 (hardcover), ISBN 0-387-94269-6 (soft cover)
• F.S. Macaulay, The algebraic theory of modular systems , Cambridge Univ. Press (1916)

外部链接

• V.I. Danilov, Cohen–Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• MathWorld 页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）