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积空间

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拓扑学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间笛卡儿积与其配备的自然拓扑结构,这个自然拓扑结构被称为积拓扑(英语:Product topology)。

无穷积空间

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直观动机上,一族拓扑空间笛卡儿积,最“自然”的拓扑,应该是使投影映射都是连续函数的最粗拓扑;换句话说,设有集合族 ,具有指标集 与指标函数

且有相应的一族拓扑 与指标函数

就是无穷乘积 满足需求的那个拓扑,那对于任意指标 ,以下的第 投影映射:

必须对所有开集 须满足:

也就是说, 必须 - 连续

首先从 的定义,对任意 有:

那如果取个一对一函数 满足:

那以上的要求就可以写为:

也就是除了 取小开集,其他都选全集的无穷乘积,应该也要是 的开集。所以目标所求的最“自然”的拓扑 ,应该是包含:

最粗拓扑,总结如下:

定义 — 设有集合族 ,具有指标集 与指标函数

且有相应的一族拓扑 与指标函数

取:

那在 上包含 最粗拓扑 被称为 积拓扑,而 被称为相应的积空间

有限积空间

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如果指标集为有限,则积拓扑有更简单的表述;这是因为可以免除用函数定义无穷乘积的迂回途径,而且还可以应用开集的有限交集为开集的特性。以下仿造上面无穷积空间一节来炮制更简明的有限积拓扑

都是拓扑空间,若对任意自然数指标 来说,以下的投影映射

对于 上的“自然拓扑 ,取任意开集 应满足:

也就是说, 都应 - 连续。那从 的定义,对任意 有:

换句话说,这个“自然拓扑”必须满足:

那稍微推广一下,对任意满足以下条件的一对一有限开集序列

要求:

那因为 (母集合当然是开集合),这样要求的确可以推得稍早要求的“自然拓扑”条件;反过来,因为:

所以根据开集的有限交集也是开集的性质,“自然拓扑”条件也可以得到刚刚的推广要求。综上所述,可以作如下的定义:

定义 —  都是拓扑空间,取:

那在 上包含 最粗拓扑 被称为 有限积拓扑,而 被称为相应的有限积空间

例子

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实直线R上的标准拓扑开始,定义nR的乘积,就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑

康托尔集同胚可数离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积,每个集合也是采用离散拓扑。

性质

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如果 B1,B2,...,Bn 是拓扑 T1,T2,...,Tn 的基,则集合积 B1 × B2 × ... × Bn乘积拓扑 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在无限乘积的情况下这仍适用,除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。

乘积空间X加上标准投影,可以用如下的泛性质来刻划:若Y是拓扑空间,并且对于每个I中的ifi : YXi是一个连续映射,则存在恰好一个连续映射f : YX满足对于每个I中的i如下交换图成立:

乘积空间的特性
乘积空间的特性

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的。从上述泛性质可以得出映射f : YX连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下,检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : YX是否连续通常更难;可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续,标准投影pi : XXi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真:若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间,则W不一定是X中的开集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)标准投影通常不是闭映射

积拓扑有时称为点式收敛拓扑,因为:X上的一个序列 (或者)收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是,如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的函数,在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理:任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易证明,而其一般情况等价于选择公理

和其它拓扑概念的联系

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每个"局部看起来"一个标准投影F × UU的空间称为纤维丛

参看

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