综合除法

综合除法是一种简便的多项式除法，只需加、乘两种运算。一般的综合除法可计算除式为一次多项式时的多项式除法。

被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算。如果除式中的首项系数不是$1$，使用综合除法前应先提取除式的首项系数。

一般的综合除法

设被除式为

$F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

设除式为

$G(x)=x-r\,\!$

设商为

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

另外有一个余数s

1. 分离$F(x)$的系数，按降幂写下，再把$r$写在左边，像这样:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline \end{array}}$

2. 把最左边的系数$a_{n}$直接拖下来，它就是商的最高次项系数：

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}$

3. 把下边的最左边一个数乘上$r$，写到行上边的右边一位：

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}$

4. 上下两数相加，写到这一列的行下:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&~&~&~\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&~&~&~\\\end{array}}$

5. 重复第3，4步，直到没有剩下的数了:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&\cdots &b_{1}r&b_{0}r\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

b的值是商$Q(x)$的系数，商的次数比被除式的次数少$1$。最后的$s$是余数。

例如$2x^{2}+5x+3$除以$2x-3$

${\begin{array}{c|cccc}~&2&5&3\\{\dfrac {3}{2}}&~&3&12\\\hline ~&2&8&15\\\end{array}}$

因为除数用的是3/2，而不是3，所以还需将所得的系数除以2，

故商式为$x+4$，余式为$15$。

$2x^{2}+5x+3=(2x+8)\left(x-{\frac {3}{2}}\right)+15=(x+4)(2x-3)+15$

推广的综合除法

推广的综合除法可计算除式为任意多项式的多项式除法。

例如$x^{3}-12x^{2}-42$除以$x^{2}+x-3$

${\begin{array}{c|cccc}~&1&-12&0&-42\\3&~&~&3&-39\\-1&~&-1&13&~\\\hline ~&1&-13&16&-81\\\end{array}}$

商式为$x-13$，余式为$16x-81$。

$x^{3}-12x^{2}-42=(x-13)(x^{2}+x-3)+16x-81$