调和映射

数学上，在黎曼流形M和N之间的一个（光滑）映射，称为调和映射，如果这个映射是狄利克雷能量泛函

E(\varphi )=\int _{M}\|d\varphi \|^{2}\,d\operatorname {Vol} .

的一个临界点。

试想像M是橡胶做的，N是大理石做的，形状由其度量决定，而映射φ:M→N给出把橡胶“贴附”在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡胶的张力产生的弹性位能。用这个比喻，φ称为调和映射，如果把橡胶“松开”，但仍限制要处处与大理石接触时，那么橡胶已经在平衡的位置，所以不会“缩回”到另一个形状。

从完备黎曼流形到非正截面曲率的完备黎曼流形存在调和映射，这个结果是Eells & Sampson (1964)证出。

数学定义

给出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N，定义φ在M中一点x上的能量密度为

e(\varphi )={\frac {1}{2}}\|d\varphi \|^{2}

其中 $\|d\varphi \|^{2}$ 是φ的微分的范数平方，范数是对向量丛T^*M⊗φ⁻¹TN上的导出度量而取。能量是能量密度在M上的积分

E(\varphi )=\int _{M}e(\varphi )\,dv_{g}={\frac {1}{2}}\int _{M}\|d\varphi \|^{2}\,dv_{g}

其中dv_g是M上由度量导出的测度。这是古典狄利克雷能量的推广。

能量密度可以更明确地表作

e(\varphi )={\frac {1}{2}}\operatorname {trace} _{g}\varphi ^{*}h.

用爱因斯坦求和约定，上式右方在局部座标中可表示为：

e(\varphi )={\frac {1}{2}}g^{ij}h_{\alpha \beta }{\frac {\partial \varphi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \varphi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}.

当M是紧致时，则φ称为调和映射，若φ是能量泛函E的一个临界点。这个定义可以延伸至M不是紧致的情况：φ称为调和映射，若φ限制到任一个紧致区域上都是调和映射，换一个更通常的说法，就是若在索伯列夫空间H^1,2(M,N)中φ是能量泛函一个临界点。

调和映射的另一个等价定义，就是φ满足与泛函E对应的欧拉-拉格朗日方程：

\tau (\varphi )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \operatorname {trace} _{g}\nabla d\varphi =0

其中∇是向量丛T^*M⊗φ⁻¹上由M和N的列维-奇维塔联络导出的联络。式中τ(φ)是向量丛φ⁻¹(TN)的截面，称为φ的张力场。用上文的物理比喻来说，τ(φ)是“橡胶”流形M要使能量极小化时在N中拟欲移动的方向。

恒等映射和常映射是调和映射。
若M是实数线R（或圆S¹），也就是说φ是N上的一条曲线（或闭曲线），那么φ是调和映射当且仅当φ是测地线。（这时上述的橡胶与大理石比喻，就变为测地线常用的橡皮圈比喻。）
若N是欧氏空间Rⁿ，那么φ是调和映射当且仅当φ是通常意义上的调和函数（即拉普拉斯方程的一个解）。这是狄利克雷原理的结果。若φ是满射到N的开子集上的微分同胚，则φ给出一个调和座标系。
在欧氏空间中的极小曲面都是调和浸入。
更一般地，N中的极小子流形M是从M到N的调和浸入。
全测地映射都是调和映射。（此时不仅∇dφ^*h的迹（trace），连∇dφ^*h也变为零。）
凯勒流形间的任何全纯映射都是调和映射。

对于两个度量空间之间的映射u : M → N这个比黎曼流形弱的场合，能量积分也有相应的推广。(Jost 1995)这时用以下形式的函数代替能量积分：

e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}

其中με
x是依附在M每一点上的测度族。

Eells, J.; Sampson, J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 1964, 86: 109–160, JSTOR 2373037 .
Eells, J.; Lemaire, J., A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1978, 10: 1–68, doi:10.1112/blms/10.1.1 .
Eells, J.; Lemaire, J., Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1988, 20: 385–524 .
Jost, Jürgen, Equilibrium maps between metric spaces, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1994, 2 (2): 173–204, ISSN 0944-2669, MR 1385525, doi:10.1007/BF01191341 .
Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis 4th, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-3-540-25907-7 .