超复数

超复数是复数在抽象代数中的引申，通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究，成为现代群表示论的根基。 此种代数举例如下：

• 4维度：四元数、双复数、分裂四元数
• 8维度：八元数、复四元数
• 16维度：十六元数

历史

19世纪，实数系和复数系之外的若干数系，如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系，成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念，吸引学者研究和分类。

分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉，并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是，二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱－迪克森构造利用对合，从实数系开始，生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制：赫维兹定理断言有限维的实复合代数仅得实数系$\mathbb {R}$、复数系$\mathbb {C}$、四元数系$\mathbb {H}$、八元数系$\mathbb {O}$，而弗罗贝尼乌斯定理断言，实结合除代数仅得$\mathbb {R}$、$\mathbb {C}$、$\mathbb {H}$。1958年，弗兰克·亚当斯考虑H-空间（有具单位元的连续乘法的拓扑空间）的霍普夫不变量，发表推广的结果，该结果仍将维数限制在1、2、4、8。

矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先，矩阵提供新的超复数系，例如$2\times 2$实矩阵组成的代数（同构于分裂四元数）。很快，矩阵方法解明其他超复数系，因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年，约瑟夫·韦德伯恩证明，满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。此后，结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语，例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而，也有不可结合的数系，例如八元数系和双曲四元数系，也算是另一类的超复数。

汤马士·霍金斯（Thomas Hawkins）解释，超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如，1929年，埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉。1973年，以赛亚·坎托尔和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版关于超复数的德文教科书，该书于1989年翻译成英文。

凯伦·帕歇尔详细介绍全盛期的超复数研究，包括数学家特奥多尔·莫林和爱德华·斯图迪的贡献。关于超复数至近世代数的过渡，巴尔特·伦德特·范德瓦尔登在《代数史》有三十页专论超复数。

定义

Kantor & Solodovnikov (1989)定义超复数为实域上某个有限维代数的元素，而该代数要有单位，但无需可结合或可交换。 该些元素可以写成一组基$\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$的线性组合，其中系数为实数$(a_{0},\dots ,a_{n})$，而基的大小$n+1$称为该代数的维数。若可行，一般将基正规化，即选取$i_{k}$使$i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$。下节先考虑二维超复数（即$n=1$）。

二维实代数

关于二维实代数有以下定理：在同构意义下，实域上的二维单位代数恰有3个：复数系、双曲复数系、二元数系。于是，实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。

下段简述定理的证明。

因为给定的代数是二维，可选一组基$\{1,u\}$。因为代数对乘法封闭，$u$的平方仍是代数的元素，故可写成线性组合：

$u^{2}=a_{0}+a_{1}u,$

其中$a_{0},a_{1}$为实系数。

运用常见的配方法，两边减走$a_{1}u$并加上$a_{1}^{2}/4$，得：

$u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.$

所以$\left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}$，其中${\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}$是实数。 取决于此实数值，分别有三种情况：

1. 若$4a_{0}=-a_{1}^{2}$，则上式变成${\tilde {u}}^{2}=0$。于是，${\tilde {u}}$可视为二元数的基$\{1,\varepsilon \}$中的幂零元$\varepsilon$。
2. 若$4a_{0}>-a_{1}^{2}$，则有${\tilde {u}}^{2}>0$。双曲复数的标准基$\{1,j\}$满足$j^{2}=+1$，故若除${\tilde {u}}$以正实数$a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}$（其平方与${\tilde {u}}$平方相等），得到的结果即可视为$j$。
3. 若$4a_{0}<-a_{1}^{2}$，则有${\tilde {u}}^{2}<0$。平常复数的标准基$\{1,i\}$满足$i^{2}=-1$，故若除${\tilde {u}}$以正实数$a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}$（其平方与${\tilde {u}}$平方互为相反数），得到的结果即可视为$i$。

从而定理成立。

复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根$j$（如双曲复数），则也有幂等元${\tfrac {1}{2}}(1\pm j)$和零因子（因为$(1+j)(1-j)=0$），故此种代数必不为除代数。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。

《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为“广义复数”（generalized complex numbers）。四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。

高维例子（有多于一条非实轴）

克利福德代数

主条目：克利福德代数

克利福德代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称标量积$u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)$，正交化该二次型，以得到基$\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$，满足：

${\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.$

由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到$2^{k}$个克利福德数，即$1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}$，皆为克利福德代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基$\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即$e_{i}$）有奇数对抑或偶数对。所以，$e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}$，但$e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}$。

若不允许$e_{i}^{2}=0$（即二次型非退化），则余下的克利福德代数可记为$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$，表示其为$p$个满足$e_{i}^{2}=+1$的简单基元和$q$个满足$e_{i}^{2}=-1$的简单基元生成的代数，而括号内的$\mathbb {R}$指明此为实域上的克利福德代数，即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。

此族代数包括：复数系$\mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )$、双曲复数系$\mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )$，四元数系$\mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )$、分裂复四元数系$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )$、分裂四元数系$\mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )$（二维空间生成的自然代数）、$\mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )$（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、时空代数$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$。

代数$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$可以视为代数$\mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )$的偶子代数$\mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )$，从而可用作描述$\mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )$中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。

虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克利福德代数皆可结合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯有关克利福德代数的书中，论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况：

设$A$为实结合代数，且具有单位元$1$。则

• $1$生成$\mathbb {R}$（实子代数），
• 若$e_{0}\in A$是任何满足$e_{0}^{2}=-1$的元素，则其生成的二维子代数与$\mathbb {C}$同构（复子代数），
• 若$e_{0}\in A$是任何满足$e_{0}^{2}=+1$的元素，则其生成的二维子代数与$\mathbb {R} ^{2}$同构（此处$\mathbb {R} ^{2}$是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构），
• 若$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$，且$e_{0},e_{1}$反交换，则$\{e_{0},e_{1}\}$生成的四维子代数同构于$\mathbb {H}$（四元数代数），
• 若$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$，且$e_{0},e_{1}$反交换，则$\{e_{0},e_{1}\}$生成的四维子代数同构于${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )$（元素为$2\times 2$实矩阵，或分裂四元数），
• 若$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$，且$e_{0},e_{1},e_{2}$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于$\ {}^{2}\mathbb {H}$（分裂复四元数代数），
• 若$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$，且$e_{0},e_{1},e_{2}$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )$（元素为$2\times 2$复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。

超出该些古典代数的延伸，见克利福德代数的分类。

凯莱－迪克森构造

更多信息：凯莱-迪克森结构

撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克利福德代数$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$皆含有平方为$+1$的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为$2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )$的数系，该些数系的基$\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}$满足：所有非实的基元两两反交换，且$i_{m}^{2}=-1$。在8维或以上时（即$n\geq 3$），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即$n\geq 4$），该些代数有零因子。

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。

凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到复合代数中的“分裂代数”，而非除代数：

分裂复数系：有基$\{1,i_{1}\}$，满足$\ i_{1}^{2}=+1$，

分裂四元数系：有基$\{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}$，满足$\ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1$，

分裂八元数系：有基$\{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}$，满足$\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$，$\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1$。

与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。

张量积

两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。

作为例子，取2维实代数$\mathbb {C}$（复数系）、4维实代数$\mathbb {H}$（四元数系）、8维实代数$\mathbb {O}$（八元数系），分别与$\mathbb {C}$作张量积，依次得4维的双复数系$\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$、8维的复四元数系$\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$、16维的复八元数系$\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$。

其他例子

• 多重复数：其组成复域上的$2^{n-1}$维向量空间。
• 复合代数：赋有二次型的代数，其中二次型与乘法可互换次序。

参见

• 十六元数
• 托马斯·柯克曼
• 格奥尔格·舍费尔
• 理查德·布饶尔
• 超复分析