Heun方法

Heun法（又称改进的或修改过的欧拉方法、显式的梯形规则）是数学和计算机科学中求解给定初值常微分方程的数值方法，以德国数学家卡尔·休恩命名。可被视作把欧拉方法扩展为两级二阶龙格－库塔法。

运用Heun法计算初值问题数值的解可分成以下步骤：

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},$

根据Heun法，先计算中间值${\tilde {y}}_{i+1}$，然后计算在下一个积分点的最终近似值$y_{i+1}$。

${\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})).$

简介

Heun法的图示。

欧拉方法是Heun法的基础。欧拉方法利用区间开端端点的函数切线，来估计函数在此区间内的斜率，并假设如果步长很小，误差就会很小。然而，即使在步长非常小的情况下，由于大量步骤的积累误差使估计偏离实际函数的值。

如果解曲线是凹向上的，其切线将估小下一个预测点的纵坐标。理想的预测线应该在它的下一个预测点刚好与曲线相交。而实际上，没有办法知道函数是凹向上还是向下凹的，因此，也不能确定下一个预测点会高估或低估其纵向值。而且也不能保证曲线一直保持一致的凹凸性，所以在解域的不同点预测可能分别有高估和低估的情况。

Heun法处理这个问题的方式，是通过考虑切线段所跨越的整个区间。以一个上凹函数为例子，以区间左端点所作的切线预测低估了该曲线在整个区间上的斜率，而如果使用右端点的切线则会高估曲线在整个区间上的斜率（可以使用欧拉方法估计）。 由左端点出发的切线点，其纵坐标都低于相应的在解曲线上的点，包括区间的右端点。解决的办法就是使斜率某程度变大些。Heun法考虑到解曲线在两端的切线，其中一个低估而另外一个高估了理想的纵坐标。预测线必须基于右端点切线斜率来单独构建（采用欧拉方法估计）。如果这个坡通过区间的左端点，结果显然是太陡，高估了理想点。因此，理想点位于大约高估和低估之间，即两个斜率的平均值。