交錯級數判別法

交錯級數審斂法（Alternating series test）是證明無窮級數收斂的一種方法，最早由戈特弗里德·萊布尼茨發現，因此該方法通常也稱為萊布尼茨判別法或萊布尼茨準則。

具有以下形式的級數

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的a_n 非負，被稱作交錯級數，如果當n趨於無窮時，數列a_n的極限存在且等於0，並且每個a_n小於或等於a_n-1（即，數列a_n是單調遞減的），那麼級數收斂．如果L是級數的和

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$

那麼部分和

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$

逼近L有截斷誤差

$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$

證明

我們假設級數具有形式$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$．當$n$趨於無窮時，數列$a_{n}$的極限等於0，並且每個 $a_{n}$小於或等於$a_{n-1}$（即$a_{n}$是單調遞減數列）．

收斂性證明

給定數列前 $(2n+1)$ 項的部分和 $S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}$．由於每個括號內的和非正，並且 $a_{2n+1}\geq 0$ ，那麼前 $(2n+1)$ 項的部分和不大於 $a_{0}$.

並且每個部分和可寫做 $S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)$．每個括號內的和非負．因此，級數 $S_{2n+1}$ 單調遞增：對任何 $n\in N$ 均有：$S_{2n+1}\leq S_{2n+3}$.

結合以上兩段論述，由單調收斂定理可得，存在數 $s$ 使得 $\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$.

由於 $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ 並且 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ，那麼 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$．給定數列的和為 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ ，其中 $s$ 為有限數，從而數列收斂．

部分和截斷誤差的證明

在收斂性的證明過程中，我們發現$S_{2n+1}$是單調遞增的．由於$S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)$，並且括號中的每一項是非正的，這樣可知$S_{2n}$是單調遞減的．由先前的論述，$\lim _{n\to \infty }S_{2n}=L$，因此$S_{2n}\geq L$．類似的，由於$S_{2n+1}$是單調遞增且收斂到$L$，我們有$S_{2n+1}\leq L$．因此我們有$S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}$對所有的n均成立．

因此如果k是奇數我們有$|L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}$，而如果k是偶數我們有$|L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}$．

參閱

• 狄利克雷判別法

圖書資料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3