功函數

功函數（又稱功函、逸出功，英語：Work function）是指要使一粒電子立即從固體內部移到固體外部，所必須提供的最小能量（通常以電子伏特為單位）。這裡「立即」一詞表示最終電子位置從原子尺度上遠離表面但從宏觀尺度上依然靠近固體。功函數不是材料體相的本徵性質，更準確的說法應為材料表面的性質（比如表面暴露晶面情況和受污染程度）。功函數是金屬的重要屬性。功函數的大小通常大概是金屬自由原子電離能的二分之一。

功函數與表面效應

金屬的功函數W與它的費米能階 $\epsilon _{F}\;$ 密切相關但兩者並不相等。這是因為真實世界中的固體具有表面效應：真實世界的固體並不是電子和離子的無限延伸重複排滿整個布拉菲格子的每一個原胞。沒有任何一者能僅僅位於一系列布拉菲格點 $\{R\}\;$ 在固體占據且充滿了非扭曲電荷分布基 $\{R\}\;$ 至所有原胞的幾何區域V。的確，那些原胞中靠近表面的電荷分布將會與理想無限固體相比被顯著的扭曲，導致一個有效表面偶極子分布，或者，有些時候同時有表面偶極子分布和表面電荷分布。

能夠證明如果我們定義功函數為把電子從固體中立即移出到一點所需的最小能量，但是表面電荷分布的效應能夠忽略，僅僅留下表面偶極子分布。如果定義帶來表面兩端位能差的有效表面偶極子為 $W_{S}\;$ 。且定義從不考慮表面扭曲效應的有限固體計算出的 $\epsilon _{F}\;$ 為費米能，當按慣例位於 $r\rightarrow \infty \;$ 的勢為零。那麼，正確的功函數公式為：

$W=-\epsilon _{F}+W_{S}\;$

其中 $\epsilon _{F}\;$ 是負的，表明電子在固體中為負極。

$W=-E_{tot}(N+1)+\{E_{tot}(N)+V(\infty )\}=-{\partial E_{tot} \over {\partial N}}+V(\infty )=-\mu +V(\infty )$

一些金屬的功函數

單位：電子伏特（eV）

金屬	功函數	金屬	功函數	金屬	功函數	金屬	功函數	金屬	功函數	金屬	功函數
Ag	4.26	Al	4.28	As	3.75	Au	5.1	B	4.45	Ba	2.7
Be	4.98	Bi	4.22	C	5	Ca	2.87	Cd	4.22	Ce	2.9
Co	5	Cr	4.5	Cs	2.14	Cu	4.65	Eu	2.5	Fe	4.5
Ga	4.2	Gd	3.1	Hf	3.9	Hg	4.49	In	4.12	Ir	5.27
K	2.3	La	3.5	Li	2.9	Lu	3.3	Mg	3.66	Mn	4.1
Mo	4.6	Na	2.75	Nb	4.3	Nd	3.2	Ni	5.15	Os	4.83
Pb	4.25	Pt	5.65	Rb	2.16	Re	4.96	Rh	4.98	Ru	4.71
Sb	4.55	Sc	3.5	Se	5.9	Si	4.85	Sm	2.7	Sn	4.42
Sr	2.59	Ta	4.25	Tb	3	Te	4.95	Th	3.4	Ti	4.33
Tl	3.84	U	3.63	V	4.3	W	4.55	Y	3.1	Zn	4.33
Zr	4.05

光電功函數

功函數是從某種金屬釋放電子所必須給予的最小能量。在光電效應中如果一個擁有能量比功函數大的光子被照射到金屬上，則光電發射將會發生。任何超出的能量將以動能形式給予電子。

光電功函數為

$\phi =hf_{0}$ ，

其中h是普朗克常數，而f₀是能產生光電發射光子的最小(閾值)頻率。當電子獲得能量時，它從一個能階以「量子躍遷」的方式跳到另一個能階。這一過程稱為電子的激發或者躍遷，其中較高能階稱為「激發態」而最低能階稱作「基態」。

熱功函

功函數在熱發射理論中也同等重要。這裡電子從熱而非光子中獲得能量。在這種情況下，即電子從加熱的充滿負電的真空管燈絲逃逸的情況下，功函數可被稱作熱功函。鎢是真空管中常見的金屬元素，它的功函數大約是4.5eV。

熱發射要求有燈絲加熱電流(i_f)，來保持2000-2700K的溫度。一旦達到燈絲電流的飽和態，則燈絲電流的大小改變不再影響電子束電流。電子槍被提供一個非常靠近克服功函數(W)所需勢的燈絲電流(Goldstein, 2003)。熱功函取決於晶體取向而且趨向於對開放晶格的金屬更小，對於原子緊密堆積的金屬更大。範圍大概是1.5–6 eV。某種程度上稠密晶面比開放晶格金屬更高。

應用

在電子學里功函數對設計肖特基二極體或發光二極體中金屬-半導體結以及真空管非常重要。

測量

很多基於不同物理效應的技術被發展出來測量樣品的電學功率函數。可以區分出兩類功函數測量的試驗方法：絕對測量和相對測量。

第一類方法利用樣品由光吸收(光發射)所引發的電子發射，通過高溫(熱發射)、或者電場(場發射)，以及使用電子穿隧效應。

所有相對測量方法利用了樣品與參照電極的接觸勢差。實驗上，是使用二極體的陰極電流或者樣品與參照物的間由人工改變的兩者間電容導致的位移電流等方法(克耳文探測、克耳文探測力顯微鏡)來測量的。

基於光發射的測量

光電發射光譜學(PES)是基於外光電效應的光譜學技術術語。對於紫外光電子光譜學(UPS)，固體樣品的表面被用紫外(UV)光激發然後發無線電子的動能得到分析。因為紫外光是能量 $h\nu$ 低於100eV的電磁輻射，它能夠只抓出價電子。因為固體中電子逃逸深度的限制紫外光電子光譜對表面非常敏感，為資訊深度的範圍為2 – 3個單層。同時測量原理限制了光電發射光譜學被用於UHV情形。得到的光譜通過提供態密度、占據態及功函數等資訊反應了樣品電子結構。

基於熱發射的測量

推遲二極體方法是最簡單和最古老的的測量功函數的方法之一。它是源自發射器電子的熱發射。收集到樣品的電子電流密度 $J$ 取決於樣品的功函數 $\phi$ 且可通過 Richardson–Dushman方程式 $J=AT^{2}e^{-\phi /kT}$ 計算，其中 $A$ ，Richardson常數，是具體的材料常數。電流密度隨溫度迅速增長而隨功函數指數下降。改變功函數可以簡單通過在樣品與電子發射器之間施加一個推遲勢 $V$ 來決定；上述方程式中 $\phi$ 被 $e(\Phi +V)$ 取代。在恆定電流下測到的推遲勢差與功函數的改變相等，假設發射器的功函數與溫度不變。