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可平行化流形

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數學中,一個 n光滑流形 M可平行化流形 是指具有向量場

V1, ..., Vn,

使得在 M 中任何一點 P切向量

Vi, P

組成 P切空間的一組。等價地說,切叢平凡叢,所以相伴的線性標架主叢有一個 M 的整體截面。

選取 M 上這樣特定的一組向量場的基稱為 M 的一個平行化絕對平行化

例子

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n=1 的一個例子是圓周:我們取 V1 為單位切向量場,比如都指向逆時針方向。n環面也可以平行化,因為可以看作是圓周的笛卡爾積。譬如取 n=2,將正方形坐標紙的對邊粘貼起來便組成了一個環面,取每個點的兩個切方向即可。更一般地,任何李群 G 可平行化,因為在單位元的切空間上一組基可以通過變換群 GG 上的作用移到任何一點。(任何變換是一個微分同胚從而這些微分同胚誘導了 G 上點的切空間的一個線性同構。)

一個經典問題是確定一個球面 Sn 是否可平行化。S1 即為圓周,可以平行化已經解釋了。毛球定理指出 S2 n 不能平行化。但是 S3 可以平行化,因為它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S7;1958年被 Michel Kervaire 證明,拉烏爾·博特約翰·米爾諾也獨立地得到了這個結論。

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  • 術語標架流形(或裝備流形)通常用於給定了一個法叢的平凡化的嵌入流形。