同調球面

數學的代數拓撲學中，同調球面是n維流形X，具有n-球面的同調群。在此n ≥ 1是整數。換言之，

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z)

對所有其他i，H_i(X,Z) = {0} .

因此X是一個連通空間，僅有一個非零的高階貝蒂數b_n（除了 b₀=1 外）。

由於H_n(X,Z)非零，故X是緊緻及可定向的。

當n > 1時，雖然H₁(X,Z) = {0}，不過並不表示X是單連通的，即X的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完滿群。（參看Hurewicz定理）

有理同調球面的定義與上述類似，不過用有理係數的同調群代替。

龐加萊同調球面

龐加萊同調球面（又稱為龐加萊十二面體空間）是同調球面的一個例子。龐加萊同調球面是球面3-流形（英語：spherical 3-manifold），因此基本群是有限的。同調3-球面中，除了3-球面之外，就只有龐加萊同調球面有有限基本群。它的基本群稱為binary icosahedral group（英語：binary icosahedral group），這個群的目是120。

龐加萊在1900年猜想使用同調群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了這個反例，並引入了基本群概念證明他的反例不是球面，又將原來的猜想修改為龐加萊猜想。

構造法

龐加萊同調球面的一個簡單構造法是使用正十二面體。將正十二面體的每個面與相對的另一面等同，將兩個面用順時針方向的最小「扭轉」重合。這樣黏合後得出的是閉3-流形。（參看用相似構造法及較大的「扭轉」而成的Seifert–Weber space（英語：Seifert–Weber space），得出的是一個雙曲3-流形。）

另一個得出龐加萊同調球面的方法，是用商空間SO(3)/I，此處 I 是二十面體群，就是正二十面體和正十二面體的旋轉對稱群，同構於交錯群A₅。更直觀地說，龐加萊同調球面就是正二十面體在三維歐幾里得空間中，所有可從幾何區別的位置所組成的空間。

性質

二重懸垂定理（英語：Double suspension theorem）指一個同調球面的二重懸垂是一個拓撲球面。

應用

若A是一個不同胚於3-球面的同調3-球面，則A的懸垂（英語：suspension (topology)）是一個4維同調流形，卻不是拓撲流形。A的二重懸垂同胚於5-球面，但是從A的三角剖分（英語：Triangulation (topology)）誘導出來的三角剖分不是分片線性流形（英語：Piecewise linear manifold）。換言之，這給出了一個有限單純複形例子，是拓撲流形，但不是分片線性流形，

Galewski－Stern證明了任何至少5維的（無邊）緊流形都同胚於某單純複形，若且唯若存在一個同調3-流形Σ，其Rokhlin不變量（英語：Rokhlin invariant）是1，使得它與自身的連通和Σ#Σ包圍了一個光滑零調（acyclic）4-流形。2013年，Ciprian Manolescu證明了不存在這樣的同調3-流形Σ。^[1]因此存在5-流形不同胚於單純複形。特別地，Galewski－Stern原來給出的例子是不可三角剖分的。^[2]

參考

^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354 . To appear in Journal of the AMS.
^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.

參看

Emmanuel Dror, Homology spheres, Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 115–129. MR 0328926
David Galewski, Ronald Stern Classification of simplicial triangulations of topological manifolds, Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, pp. 1–34.
Robion Kirby, Martin Scharlemann, Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press, New York-London, 1979.
Michel Kervaire（英語：Michel Kervaire）, Smooth homology spheres and their fundamental groups, Transactions of the American Mathematical Society（英語：Transactions of the American Mathematical Society） 144 (1969) 67–72. MR 0253347
Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

外部連結

A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere and Non-PL Spheres with Few Vertices （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Anders Björner and Frank H. Lutz
Lecture by David Gillman on The best picture of Poincare's homology sphere （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
A cosmic hall of mirrors （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - physicsworld (26 Sep 2005)

[1] Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354 . To appear in Journal of the AMS.

[2] D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.

[1]

[2]