此條目的主題是數學當中的一種函數或運算。關於電子系統設計與信號傳輸中的差分傳輸,請見「
差分信號」。
差分,又名差分函數或差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是數學中的一個概念,將原函數 映射到 。差分運算,相應於微分運算,是微積分中重要的一個概念。
差分分為前向差分和逆向差分。
函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數,如果在等距節點:
則稱,函數在每個小區間上的增量為一階差分。[1]
在微積分學中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程式的解法也與微分方程式的解法相似。當是多項式時,前向差分為Delta算子(稱為差分算子[2]),一種線性算子。前向差分會將多項式階數降低 1。
對於函數,如果:
則稱為的一階逆向差分。
一階差分的差分為二階差分,二階差分的差分為三階差分,其餘類推。記:
為的階差分。
如果
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根據數學歸納法,有
其中,為二項式係數。
特別的,有
前向差分有時候也稱作數列的二項式轉換
對比解析函數中的微分的屬性,差分的性質有:
- 線性:如果 和 為常數,則有
- 乘法定則(此處步長):
- 或
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程式」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。
當值間隔為單位步長時,有:
這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式
是二項式係數,其中的是「下降階乘冪」(另一種常見的標記法為),空積被定義為。這裡的是「前向差分」的特定情況,即間距。
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,
對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:
在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。