整函數

整函數（英語：Entire function）是在整個複平面上全純的函數。典型的例子有多項式函數、指數函數、以及它們的和、積及複合函數。每一個整函數都可以表示為處處收斂的冪級數。而對數函數和平方根都不是整函數。

整函數 $f(z)$ 的階可以用上極限定義如下：

\rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}},

其中 $r$ 是到 $0$ 的距離， $M(r)$ 是 $\left|z\right|=r$ 時 $f(z)$ 的最大絕對值。如果 $0<\rho <\infty$ ，我們也可以定義它的類型：

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

整函數在無窮遠處可能具有奇點，甚至是本性奇點，這時該函數便稱為超越整函數。根據劉維爾定理，在整個黎曼球面（複平面和無窮遠處的點）上的整函數是常數。

劉維爾定理確立了整函數的一個重要的性質：任何一個有界的整函數都是常數。這個性質可以用來證明代數基本定理。皮卡小定理強化了劉維爾定理，它表明任何一個不是常數的整函數都取遍所有的複數值，最多只有一個值例外，例如指數函數永遠不能是零。

參見