曲波變換

曲波變換（英語：Curvelet Transform）是一種可以對多尺度信號進行表示的非自適應方法。作為小波變換的推廣，曲波變換目前廣泛的應用於諸如圖像處理和科學計算等領域。

小波通過使用具有時頻局域化性質的基對傅立葉變換進行了推廣。對於高維信號，通過局域化朝向（Orientation），小波變換可以具有方向信息。曲波變換和包含方向信息的小波變換的區別在於，對於角度的局域化性質會隨著尺度變化。

曲波變換適用於表示圖像等除奇異點外光滑的信號，這些信號由具有有界曲率的曲線構成，卡通、幾何和文字等圖片都具有這樣的性質，這些圖片的邊緣會隨著圖片的放大顯得越來越直。然而一般的照片不具有類似的特徵，它們往往在幾乎所有的尺度上都有細節信息。所以在處理一般的照片時，選擇具有方向信息的小波變換會在每個尺度上都具有相同的縱橫比。

當圖像類型適合時，曲波變換可以提供比其他小波變換更稀疏的表示。 通過假設僅使用 $n$ 個小波作為幾何測試圖像的最佳逼近，並將近似誤差作為 $n$ 的函數來量化表示的稀疏性。對於傅立葉變換，均方誤差的衰減速度約為 $O(1/{\sqrt {n}})$。對於包括方向性的和非方向性的一系列小波變換，均方誤差的衰減速度約為 $O(1/n)$。而採用曲波變換則可以使均方誤差的衰減速度下降到約為 $O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})$。

Candès等人提出了兩種離散曲波變換的快速算法，分別是基於非均勻採樣傅立葉變換的Curvelet變換（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基於卷繞的Curvelet變換（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；對於大小為$n\times n$的圖片，二者的計算複雜度均為$O(n^{2}\log n)$，約是快速傅立葉變換的6-10倍。

曲波的構建

為了構建曲波的基函數 $\phi$，並在二維頻率平面提供一個平鋪（tiling），以下兩個方面應當得到考慮：

1. 考慮頻域的極坐標
2. 構建的曲波基應以近似楔形的方式局部支撐

在尺度$2^{-j}$下，楔形元素的數量為$N_{j}=4\cdot 2^{\lceil {\frac {j}{2}}\rceil }$，也就是說，每經過兩個圓環會使楔形元素數量加倍。

令頻域的坐標${\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2})^{T}$，所以頻域的極坐標為$r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}}$，$\omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}$。

在極坐標下，我們假設膨脹的基本曲波為：

${\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}$

為了使構建的曲波基在一個近似楔形區域上支撐，兩個窗函數$W$和${\tilde {V}}_{N_{j}}$需要是緊支撐的。我們可以簡單的使$W(r)$覆蓋$(0,\infty )$，膨脹的曲波和${\tilde {V}}_{N_{j}}$使得每一個圓環被${\tilde {V}}_{N_{j}}$的平移覆蓋。

由容許性條件可以得出：

$\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).$

為了利用$N$個楔形平鋪一個圓環（$N$為正整數）我們需要以$2\pi$為周期的非負窗${\tilde {V}}_{N}$在區間$\left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]$內支撐，使得：

$\sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1,\omega \in \left[0,2\pi \right)$

${\tilde {V}}_{N}$可以簡單的由一個純量窗通過$2\pi$周期化構建為$V({\frac {N\omega }{2\pi }})$。

所以：

$\sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}$

為了完全覆蓋包括零點附近區域的頻率平面，我們需要定義一個低通成分${\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(|\xi |)$滿足：

$W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}$

該部分在單位圓上支撐，此時不考慮旋轉。

關於Curvelet性質、構建及其離散化的詳細信息，參見。

應用

• 圖像處理
• 地震勘探
• 流體力學
• 求解偏微分方程
• 壓縮感知

外部連結

• Curvelet.org 主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）