積分方程式

積分方程式是含有對未知函數的積分運算的方程式，與微分方程式相對。許多數學物理問題需通過積分方程式或微分方程式求解。

積分方程式最基本的形式為第一類弗里德霍姆方程式：

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,$

其中，$f$和$K$已知，$K$又稱核函數，$\phi$為所求未知函數。積分上下限$a$，$b$為常數。

如未知函數同時出現在積分符號內外，則該方程式稱作第二類弗里德霍姆方程式：

$\phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,$

$\lambda$作為未知因子，起到與線性代數中特徵值類似的作用。

如果積分上限或下限為變量，則該方程式稱為伏爾泰拉方程式。第一類和第二類伏爾泰拉方程式有下述形式：

$f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,$

$\phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,$

如果$f$始終為$0$，以上所有方程式稱為齊次，否則，稱為非齊次。

參見

• 微分方程式

參考文獻

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Integral Equations: Exact Solutions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at exampleproblems.com