笛卡兒積

「笛卡兒平方」重定向至此，關於範疇論中的笛卡兒方形，參見拉回 (範疇論)

$A=\{x,y,z\}$與$B=\{1,2,3\}$的笛卡爾積

在數學中，兩個集合$X$和$Y$的笛卡兒積（英語：Cartesian product），又稱直積，在集合論中表示為$\,X\times Y$，是所有可能的有序對組成的集合，其中有序對的第一個對象是$\,X\,$的成員，第二個對象是$\,Y\,$的成員。

$X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}$。

舉個實例，如果集合$\,X\,$是13個元素的點數集合$\left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}$，而集合$\,Y\,$是4個元素的花色集合$\{$♠, ♥, ♦, ♣$\}$，則這兩個集合的笛卡兒積是有52個元素的標準撲克牌的集合$\{(A,$♠$),(K,$♠$),...,(2,$♠$),...,(A,$♣$),...,(3,$♣$),(2,$♣$)\}$。

笛卡兒積得名於笛卡兒，因為這概念是由他建立的解析幾何引申出來。

笛卡兒積的性質

易見笛卡兒積滿足下列性質：

• 對於任意集合$A$，根據定義有$A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$
• 一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結合律。
• 笛卡兒積對集合的並和交滿足分配律，即

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

$(B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)$

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$

$(B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)$

$(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$

• 若一個集合$A$包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積$A\times A$有和$A$一樣多的元素。

笛卡兒平方和n元乘積

集合$X$的笛卡兒平方（或二元笛卡兒積）是笛卡兒積$X\times X$。一個例子是二維平面$R\times R$，（這裡$R$是實數集） - 它包含所有的點$(x,y)$，這裡的$x$和$y$是實數（參見笛卡兒坐標系）。

為了幫助枚舉，可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素，以形成有序對作為表的單元格。

可以推廣到在$n$個集合$X_{1},...,X_{n}$上的n-元笛卡兒積:

$\prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}$。

實際上，它可以被等同為$\left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}$。它是n-元組的集合。

一個例子是歐幾里得三維空間$R\times R\times R$，這裡的$R$同樣是指實數集。

無窮乘積

有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列 $x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}$（因為序列是種以自然數系 $\mathbb {N}$ 為定義域的函數），而 $x$ 的值域恰好是預備要依序進行笛卡兒積的所有集合，換句話說：

$I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}$

$\{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}$

這樣的話，若有函數 $f:I\to \bigcup I_{g}$ 滿足：

$(\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]$

那就等價於

$(f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)$

換句話說，函數 $f$ 可以看做 $\prod _{i=1}^{n}x(i)$ 裡的一個n-元組，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：

定義 — 若 $I$ 是集合族 ${\mathcal {X}}$ 的指標集，換句話說有指標函數 $x$ 讓二者等勢：

$I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}$

那以下的函數族

$\prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}$

被稱為集合族 ${\mathcal {X}}$ 關於指標函數 $x$ 的無窮乘積。

更進一步的，若此時取一 $j\in I$ ，則以下定義的函數 $\pi _{j}$

$\pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)$ ，$\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]$

被稱為第 $j$ 投影映射。

在無限情況，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然數集$\mathbb {N} ,$的時候：這正是其中第i項對應於集合$X_{i}$的所有無限序列的集合。再次，$\mathbb {R}$提供了這樣的一個例子：

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots$

是實數的無限序列的搜集，可視之為帶有無限個構件的向量或元組。另一個特殊情況（上述例子也滿足它）是在乘積中的各因子X_i都是相同的時候，類似於「笛卡兒指數」。這樣，在最先定義中的無限併集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從I到X的所有函數的集合。

在別的情況，無限笛卡兒積就不那麼直觀了；儘管在高等數學中的應用有其價值。

「非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空」這一陳述等價於選擇公理。

函數的笛卡兒積

如果$f$是從$A$到$B$的函數，而$g$是從$X$到$Y$的函數，則它們的笛卡兒積$f\times g$是從$A\times X$到$B\times Y$的函數，帶有

$(f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))$

跟之前類似，函數的笛卡兒積也可以擴展到函數的元組和無限情況。

參見

• 有序對
• 冪集公理
• 二元關係
• 笛卡兒
• 乘積拓撲
• 乘積 (範疇論)
• 拉回 (範疇論)

外部連結

• Cartesian Product at ProvenMath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Hazewinkel, Michiel (編), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4