紐結理論

最簡單的三葉結

紐結理論 （英語：Knot theory） 是拓撲學的一個分支，研究紐結的拓撲學特性。

較為複雜的紐結

用三維模型展示扭結

歷史

結繩紀事由來遠古，但從數學上研究紐結，始於德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯，高斯研究電磁場的性質，認為與紐結有關。1867年開爾文勳爵認為原子是以太漩渦的紐結，可用不同種類的紐結將原子分類，並用來解釋為何原子的吸收光譜呈現不連續的現象。

蘇格蘭理論物理學家彼德·G·泰特用多年時間研究出紐結分類表，相信他正在創造一個元素表。1887年邁克生-莫立實驗證明「以太」不存在，「以太漩渦論」成為過時理論。十九世紀末葉，產生拓撲學，紐結論再次成為熱點研究課題。今日紐結論的應用包括弦理論、DNA複製和統計力學等領域。

Reidemeister移動

The Reidemeister moves

1927年，J.W. 亞歷山大 和G.B. Briggs，以及 Kurt Reidemeister 獨立地提出了如何判定兩個結是相同的方法：如果由一個結可以透過幾種基本的動作變成另一個結，它們便是相等的。這些運算稱為Reidemeister移動。

高階紐結圖

一個$n$維球，只可以在$n+2$維空間扭成結，而且必定能在$n+3$維空間解結。（E.C. Zeeman）

紐結連通和

兩個結可以「相加」。考慮兩個結的平面投影，假設投影不相交。在平面找出一個長方形，使得每個結都有一條線在長方形內，結的邊靠近長方形的對邊，而且長方形其他部分沒有和結相交。將兩線剪開，上面的部分和上面的部分連起，下面的和下面的連起。這運算稱為連通和。

這個在結的運算，形成了一個交換的么半群，且有素分解：如果一個結K只可以寫作K+0=K或0+K=K，K便是素紐結。（0表示沒有扭過的結。）

陳-西蒙斯理論和紐結多項式

主條目：陳-西蒙斯理論

三維的陳-西蒙斯理論生成很多重要的紐結多項式和紐結不變量：

陳西理論的紐結拓撲不變量

陳西規範群G	紐結多項式或不變量
SO(N)	考夫曼多項式
SU(N)	HOMFLY多項式
SU(2)或SO(3)	鍾斯多項式（跟括號多項式有關）
U(1)	環繞數

參看

• 結 (數學)
• DNA拓撲
• 紐結多項式
• HOMFLY多項式
• 分子結