調性網絡

在律學與和聲學中，調性網絡，或托內斯（來自於德語「Tonnetz」，「tone-network」的意思）是一種用於表示調性空間的、概念性的音樂格子圖（英語：Lattice (music)），由萊昂哈德·歐拉於1739年提出^[1]。調性網絡的各種可視化形式可被用於表示歐洲古典音樂的傳統和聲關係。

1900年之前的歷史

「Tonnetz（調性網絡）」這個詞最早出現於歐拉1739年的著作《新樂理的一個嘗試：基於最良好的和聲原理來清晰地揭示（德語：Tentamen novae theoriae musicae）（Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae）》。右圖中的歐拉音調網絡表現了純五度和大三度的三元關係：最頂端的音為 F；底下左側的音為 C（F 以上的純五度），右側的音為 A（F 以上的大三度）。此空間於1856年被埃恩斯特·瑙曼（英語：Ernst Naumann）再次發現，並在阿瑟·馮·厄廷根（英語：Arthur von Oettingen）1866年的論文中使用。厄廷根與極具影響力的音樂學家胡戈·里曼（Hugo Riemann，勿與數學家黎曼混淆）深入研究了此空間，以圖表化各個和弦之間的和聲運動與調性之間的轉換。其他的關於調性網絡的相似理解，在十九世紀末德國不少音樂理論家的著作中也有出現^[2]。

厄廷根和里曼不約而同地構想通過純律定義出圖表中的關係。若無限延伸調性網絡中的某一行，可得一個循環的純五度序列：F-C-G-D-A-E-B-F#-C#(Db)-Ab-Eb-Bb-F-C-...。從 F 起始，經過12個純五度，將得到另一個 F。但是純律中的純五度比現今較為常用的十二平均律中的純五度稍大，即上文中最後得到的 F 與初始的 F 之間不會是整數個八度的關係。因此，用這種向各方向無限延伸的方式構造出的音調網絡的各個音都是不重複的。

調性網絡之所以會吸引十九世紀的德國理論家的目光，是因為它可以將音調之間的距離與聯繫表現在空間上。例如，網格中深藍色的三角形——A小調小三和弦的同主音調大三和弦（A-C#-E）就位於小三和弦下方，兩者共用頂點 A 和 E。A小調的關係大調——C 大調（C-E-G）位於相鄰的右上方，共用頂點 C 和 E。A小調小三和弦的屬音三和弦——E大調大三和弦（E-G#-B）與A小調小三和弦關於頂點 E 中心對稱。注意到，調性網絡中的兩個三角形共用的頂點越多，表示這兩個三角形表示的和弦共用的音也越多；這也讓調性網絡在某種程度上能夠可視化聲部進行（英語：Voice leading）：當相鄰兩個和弦共用的音較多時，此進行被認為是平滑（smooth）的。這個原理在分析十九世紀末期的作曲家，例如瓦格納的作品時非常重要，因為瓦格納在自己的作品中常常會避免運用傳統的調性關係。 ^[2]

二十世紀的再詮釋

為了進一步探索音高結構（pitch structures）的性質，新里曼理論學家戴維·勒溫（英語：David Lewin）和 Brian Hyer 等人最近重新開始使用調性網絡進行研究。現代音樂理論家們一般用十二平均律和音高集合構造調性網絡。在十二平均律中，上一節提到的無盡的向上五度模進（ascending fifths）變成一個封閉的循環。新里曼理論學家一般假設異名同音等價（即Ab = G#），因此二維平面上的調性網絡會在兩個不同的方向上循環，其在數學中同構於環面。理論學家們還運用數學中的群論來研究這個新循環形式的結構^{[來源請求]}。

新里曼理論學家也用調性網絡來可視化各個非調性三和弦（non-tonal triadic）之間的關係。例如，從調性網絡的 C 沿著一條邊向左上走會依次經過 C-Ab-E-C（E 實際上是 Fb，而最後的 C 實際上是Dbb）；這幾個音將一個八度分成了三個大三度。理察·孔恩（英語：Richard Cohn）認為，一個構築在這三個音調（C major、Ab major 和 E major）上的三和弦模進是無法用傳統功能和聲的概念充分地描述出來的，而這個循環卻有著平滑的聲部進行；這一點與其他重要的性質均可在調性網絡上容易地看出^[3]。

與其他圖形系統的相似性

諧振調律（英語：Regular_diatonic_tuning#Syntonic temperament and timbre）下的調性網絡可以通過連接同構鍵盤上連續的純五度、大三度和小三度而推導出來。^[4]與調性網絡相似，同構鍵盤也具有調音不變性（tuning invariant）。諧振調律（英語：syntonic temperament）下的調性網絡的拓撲結構一般為圓柱體。

調性網絡為勛伯格「區域圖表（chart of the regions）」的對偶圖^[5]。對音樂認知（英語：music cognition）的研究表明人的大腦運用了「區域圖表」來分析處理音調關係。^[6]

參見

參考文獻

^ Euler, Leonhard. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. Saint Petersburg Academy. 1739: 147 （拉丁語）.
^ ^2.0 ^2.1 Cohn, Richard. Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective. Journal of Music Theory. 1998, 42 (2 Autumn): 167–180. JSTOR 843871.
^ Cohn, Richard. Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions. Music Analysis. March 1996, 15 (1): 9–40. doi:10.2307/854168.
^ Milne, A.; Sethares, W. A.; Plamondon, J. Invariant fingerings across a tuning continuum. Computer Music Journal. 2007, 31 (4 Winter): 15–32 [2017-07-03]. doi:10.1162/comj.2007.31.4.15. （原始內容存檔於2016-01-09）.
^ Schoenberg, Arnold; Stein, L. Structural Functions of Harmony. New York: Norton. 1969. ISBN 0-393-00478-3.
^ Janata, Petr; Jeffrey L. Birk; John D. Van Horn; Marc Leman; Barbara Tillmann; Jamshed J. Bharucha. The Cortical Topography of Tonal Structures Underlying Western Music. Science. December 2002, 298 (5601): 2167–2170 [2017-07-03]. PMID 12481131. doi:10.1126/science.1076262. （原始內容存檔於2009-02-07）.

外部連結

Music harmony and donuts by Paul Dysart
Charting Enharmonicism on the Just-Intonation Tonnetz（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Robert T. Kelley
Midi-Instrument based on Tonnetz (Melodic Table) by The Shape of Music
Midi-Instrument based on Tonnetz (Harmonic Table)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by C-Thru-Music
Interactive Tonnetz（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Ondřej Cífka and Anton Salikhmetov

[1] Euler, Leonhard. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. Saint Petersburg Academy. 1739: 147 （拉丁語）.

[cohnintro-2] 2.0 ^2.1 Cohn, Richard. Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective. Journal of Music Theory. 1998, 42 (2 Autumn): 167–180. JSTOR 843871.

[3] Cohn, Richard. Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions. Music Analysis. March 1996, 15 (1): 9–40. doi:10.2307/854168.

[4] Milne, A.; Sethares, W. A.; Plamondon, J. Invariant fingerings across a tuning continuum. Computer Music Journal. 2007, 31 (4 Winter): 15–32 [2017-07-03]. doi:10.1162/comj.2007.31.4.15. （原始內容存檔於2016-01-09）.

[5] Schoenberg, Arnold; Stein, L. Structural Functions of Harmony. New York: Norton. 1969. ISBN 0-393-00478-3.

[6] Janata, Petr; Jeffrey L. Birk; John D. Van Horn; Marc Leman; Barbara Tillmann; Jamshed J. Bharucha. The Cortical Topography of Tonal Structures Underlying Western Music. Science. December 2002, 298 (5601): 2167–2170 [2017-07-03]. PMID 12481131. doi:10.1126/science.1076262. （原始內容存檔於2009-02-07）.

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