運動常數

在古典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（constant of motion），又稱為守恆量。^[1]它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。

應用

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的，則此物體的軌跡（Trajectory）必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言，從潘索橢圓球（Poinsot's ellipsoid）可以觀察出，一個淨力矩等於零的剛體的旋轉，其角速度軌跡是一個圓球（角動量守恆）與一個橢圓球（能量守恆）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法

辨認運動常數的方法有好幾種：

最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，可以論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。

哈密頓-亞可比方程式給予一個常用與直接的方法來認明運動常數，特別是當採用正交坐標的哈密頓量，呈現出可辨認的函數形式。

另外一種方法應用下述事實：每一個守恆量的量值都相應於一個拉格朗日量的對稱性。諾特定理給予一個有系統的方法，從對稱性導引出守恆量。例如，拉格朗日量對於時間演化（英語：time evolution）的不變性，造成了能量守恆；拉格朗日量對於空間平移的不變性（平移對稱性），造成了動量守恆；拉格朗日量對於空間轉動的不變性，造成了角動量守恆。反過來說也是正確的；每一個拉格朗日量的對稱性相應於一個運動常數

假若一個物理量 $A$ ，既不是顯性地含時間，又與哈密頓量的帕松括號等於零，則此物理量是保守的：

{\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+[A,\ H]

。

另外一個很有用的理論，帕松定理闡明：假若 $A$ 與 $B$ 都是運動常數，則它們的帕松括號 $[A,\ B]$ 也是運動常數。

一個物理系統，假若擁有 $n$ 個自由度， $n$ 個運動常數，其任何一對運動常數的帕松括號等於零，則稱此系統為完全可積分系統（completely integrable system）。稱這一集合的運動常數互相對合。

量子力學

假若，一個可觀測量 $Q$ 與哈密頓量 $H$ 是可交換的，而且不顯性地含時間，則此可觀測量是個運動常數。

導引

假設，一個可觀測量 $Q=Q(x,p,t)$ 跟位置 $x$ 、動量 $p$ 、時間 $t$ 有關。再假設一個波函數 $\psi$ 遵守薛丁格方程式 $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi$ 。求 $Q$ 期望值對於時間 $t$ 的導數，

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle$
	$=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\|Q\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|Q\|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle$ ；

其中， $[H,Q]=HQ-QH$ 是交換子。

假若， $Q$ 與哈密頓量 $H$ 是可交換的，而且不顯性地含時間，則

{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0

。

所以， $Q$ 是運動常數。

參閱

參考文獻

^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.

[1] Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.

[1]

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle$
	$=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\|Q\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|Q\|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle$ ；