模組:Complex Number/doc

本模組為Lua定義了一套複數（如虚数、四元數）運算的系統，可提供其他模組呼叫使用，而若要直接在模板或條目中使用可透過Module:Complex Number/Calculate‎或{{複變運算}}來完成。

關於本模組創建動機詳見Module:TemplateParameters#設計緣由（亦可參考Template_talk:Root）。

模組內容

本模組有4套數學資料結構的定義以及對應的數學運算庫：

.cmath

複數的數學資料結構及運算的系統

.qmath

四元數的數學資料結構及運算的系統

.math

實數運算系統的擴充

.bmath

布林代數的數學資料結構及運算的系統

使用方法

1. 初始化數學庫
   • local 自訂函數庫名稱 = require("Module:Complex Number").函數庫名稱.init()

     例如：local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()

2. 初始化指定數學結構的數字
   • local 變數名稱 = 自訂函數庫名稱.constructor("描述數字的字串")

     例如：local num1 = cmath.constructor("2+3i")

3. 執行運算

   例如：

   local num1 = cmath.constructor("2+3i")
   local num2 = cmath.constructor("4+5i")
   print(num1 * num2)
   

   輸出：-7+22i

   或者使用函數庫內容：

   local num1 = cmath.constructor("i")
   print(cmath.sqrt(num1))
   

   輸出：0.70710678118655+0.70710678118655i

• 若需要在模板中使用，請參閱{{複變運算}}

原理

複數可分為實部和虛部，此特性可以透過Lua的table功能（{real=..., imag=...,}）來實現，同時透過複寫Metatables來完成其各運算子（如+、-、*、/）來實現複變的基本運算：

p.ComplexNumberMeta = {
	__add = function (op1, op2) 
		return p.ComplexNumber(op1.real + op2.real, imag = op1.imag + op2.imag)
	end,
	--...
}
function p.ComplexNumber(real, imag)
	local complexNumber = {real = op1.real + op2.real, imag = op1.imag + op2.imag}
	setmetatable(complexNumber,p.ComplexNumberMeta)
	return complexNumber
end

如此一來，只要是設定過Metatables的含實部和虛部的table都可以直接進行複變數的運算。

剩下的部分就是完善數學函數庫math.xxx的各函數。

比較

函數庫		預設的math	.cmath	.qmath	.math	.bmath	.tagmath 位於Module:Complex Number/Calculate‎
說明		Lua預設提供的math程式庫	複數（$a+bi$）專用程式庫	四元數（$a+bi+cj+dk$）專用程式庫	預設math的擴充，定義了上方兩個程式庫中的功能	簡單的布林代數	會運算成<math></math>的程式庫
函式庫初始化方式		無須初始化	cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init();	qmath = require("Module:Complex Number").qmath.init();	math = require("Module:Complex Number").math.init();	bmath = require("Module:Complex Number").bmath.init();	tagmath = require("Module:Complex Number/Calculate").tagmath.init();
數字建構/初始化方式		tonumber("10"); 10	cmath.toComplexNumber("1+i"); cmath.getComplexNumber(1,1);	qmath.toQuaternionNumber("i+j+k"); qmath.getQuaternionNumber(0,1,1,1);	tonumber("10"); 10	bmath.toBoolean("yes");	tagmath.toTagMath("a");
四則運算	加法 a + b				lua原生支援	邏輯或	輸出$a+b$
	減法 a - b				lua原生支援		輸出$a-b$
	乘法 a * b				lua原生支援	邏輯與	輸出$a\times b$
	除法 a / b			只能除實數	lua原生支援	不存在	輸出$a\div b$
	模除 a % b			以高斯符號定義	lua原生支援	不存在
一元運算	相反數 -a				lua原生支援	邏輯非	輸出$-a$
	tostring				lua原生支援
e常數 e							輸出$e$
圓周率 pi					lua原生支援		輸出$\pi$
虛數單位 i							輸出$i$
j單位 j							輸出$j$
k單位 k							輸出$k$
絕對值 abs(a)					lua原生支援	回傳1或0	輸出$\left\vert a\right\vert$
符号函数 sgn(a)						回傳1或0	輸出$\operatorname {sgn} a$
共轭复数 conjugate(a)					原式輸出。		輸出${\overline {a}}$
輻角 arg(a)							輸出$\arg a$
平方根 sqrt(a)							輸出${\sqrt {a}}$
倒數 inverse(a)							輸出${a}^{-1}$
分數 div(a,b)							輸出${\frac {a}{b}}$
數字部件	實部 re(a)						輸出$\operatorname {Re} {a}$
	虛部 im(a)				恆為0		輸出$\operatorname {Im} {a}$
	非實部 nonRealPart(a)				恆為0	恆為0	即将到来
	純量部
	向量部
	部件向量 tovector(a)				單一元素向量
內積 dot(a,b)					與乘法相同		輸出$a\cdot b$
外積 outer(a,b)		不存在	恆為0		不存在	不存在	即将到来
冪 a ^ b			只能pow(a,b)	只能pow(a,b)	lua原生支援		只能pow(a,b)
指對數函數	指數 pow(a,b)				lua原生支援		輸出$a^{b}$
	自然對數 log(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\ln a$
	自然指數 exp(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\exp a$
	cis cis(a)					不存在	輸出$\operatorname {cis} a$
高斯符號	地板 floor(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\lfloor a\rfloor$
	天花板 ceil(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\lceil a\rceil$
	数值修约 round(a)					不存在	即将到来
	截尾函數 trunc(a,b)					不存在	輸出$\mathrm {trunc} (a,b)$
三角函數	正弦 sin(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\sin a$
	餘弦 cos(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\cos a$
	正切 tan(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\tan a$
	餘切 cot(a)					不存在	輸出$\cot a$
反三角函數	反正弦 asin(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\arcsin a$
	反餘弦 acos(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\arccos a$
	反正切 atan(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\arctan a$
	反餘切 acot(a)					不存在	輸出$\operatorname {arccot} a$
雙曲函數	雙曲正弦 sinh(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\sinh a$
	雙曲餘弦 cosh(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\cosh a$
	雙曲正切 tanh(a)				lua原生支援	不存在	輸出$\tanh a$
	雙曲餘切 coth(a)					不存在	輸出$\coth a$
反雙曲函數	雙曲反正弦 asinh(a)					不存在	輸出$\operatorname {arcsinh} a$
	雙曲反餘弦 acosh(a)					不存在	輸出$\operatorname {arccosh} a$
	雙曲反正切 atanh(a)					不存在	輸出$\operatorname {arctanh} a$
	雙曲反餘切 acoth(a)					不存在	輸出$\operatorname {arccoth} a$

擴充函數

本模組僅為這些數學結構定義一些基本運算（見上表）。一些較複雜的運算可透過調用Module:Complex_Number/Functions來完成。本模組提供的3個部分（cmath、qmath、math）皆支援Module:Complex_Number/Functions。

使用方法

mathlib = require("Module:Complex Number/Functions")._init(mathlib, numberConstructer)

其中，mathlib為已初始化的數學函數庫（如cmath、qmath、math），numberConstructer為對應該數學函數庫數字結構的建構子函數。

所回傳的新mathlib將會包含Module:Complex_Number/Functions中已定義的所有擴充函數。

註：詳細使用條件參見Module:Complex_Number/Functions/doc#使用條件，說明了函數庫須具備那些條件方能使用此擴充功能。

定義新的數學庫

主页面：Module:Complex_Number/Example/doc

Module:Complex Number是一系列數學運算庫，並可以相互兼容。當然也能定義其他兼容的程式庫，但需要符合特定條件，例如需要實作一些需求函數。詳細內容可以參考範例數學庫Module:Complex Number/Example。

若要定義一個新的Module:Complex Number系列函數庫需要實作一個新的物件，並實作其Metatables中的運算子。

定義數學資料結構

參閱Example的第85行

數學資料結構需要定義成一個table，並以table來定義或表達所需要的數字。即使數字只有單一物件，也許使用table因為這樣才能透過實作Metatables來完成Module:Complex Number系列函數庫所需的相關功能。

• numberType：本數學資料結構的類型名稱（字串），用於Module:Complex Number系列函數庫的識別（參閱Example的第92行）
• update()：更新結構數值的成員函數（參閱Example的第89行）
• clean()：去除過小值或誤差值的成員函數，並返回結果。若無此需求，直接返回自身即可。（參閱Example的第90行）

實作metatable

參閱Example的第47行

需定義Metatables的 __add（加法）、 __sub（減法）、 __mul（乘法）、 __div（除法）、 __mod（取餘數）、 __unm（相反數）、 __eq（相等判斷）、 __tostring（以字串表達本物件）

定義數學資料結構的建構子

參閱Example的第85行及第95行

由於數學資料結構需要定義為table因此需要有建構子來賦予該結構初值。建構子需要完成以下步驟：

• 讀取輸入的物件或字串將其存入table物件中（參閱Example的第91行）
• 設定table的metatable為剛才定義的metatable（參閱Example的第88行）
• 定義其他所需的成員變數或函數

定義數學庫的初始化函數

參閱Example的第101行

數學庫必須是一個獨立物件，所有的函數皆需定義在數學函數庫物件下（包括數學資料結構的建構子）。初始化數學庫的函數名稱必為init，當中需要定義以下內容：

• 各項常數的定義（參閱Example的第102行）
• numberType成員函數定義為Module:Complex Number中的_numberType（參閱Example的第106行）
• constructor成員函數設定為數學結構的建構子（參閱Example的第107行）
• elements成員變數設定為單位元素的清單（參閱Example的第108行）

完成數學庫的定義

視情況定義列於Module:Complex_Number/doc#比較中的各項函數（如需支援Module:Complex_Number/Functions的情況）。

其他函數庫

require("Module:Complex Number").cmath

複變函數庫

require("Module:Complex Number").qmath

四元數函數庫

require("Module:Complex Number").math

實數函數庫擴充

require("Module:Complex Number").bmath

布林代數函數庫

require("Module:Complex Number/Calculate").tagmath

輸出為<math></math>的運算庫

require("Module:Complex Number/Matrix").mmath

矩陣函數庫

require("Module:Complex Number/Dual Number").dumath

二元數函數庫

require("Module:Complex Number/Dual Number").ducmath

二元複數函數庫

require("Module:Complex Number/Octonion").omath

八元數函數庫

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmath.init(math_lib)

將指定的函數庫math_lib套用凯莱-迪克森结构形成新的函數庫（無法自我嵌套）

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").sdmath

八元數套用凯莱-迪克森结构後的形成新的十六元數函數庫

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmathOctonion

預先套用凯莱-迪克森结构的八元數後的函數庫（可作為十六元數使用）

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmathSedenion

預先套用凯莱-迪克森结构的十六元數後的函數庫（可作為三十二元數使用）

相關頁面

• Module:Complex_Number/Solver：求解器和部分共用的函數。