一致有界性原理

數學上，一致有界性原理，又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子范数意義下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。

定理內容

設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ，都有

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$

則

$\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .$

證明

由於 X 完備，利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 X 中的任意一個 x, 都有

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$

對任意整數 $n\in \mathbb {N} ,$記

$X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.$

則 $X_{n}$ 為閉集，且由假設有

$\bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$

貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 $X_{m}$ 的內部非空，即存在 $x_{0}\in X_{m}$ 和 ε > 0 使得

${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.$

設 u ∈ X 滿足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 則有：

${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$

使 u 歷遍 X 的單位球，並取遍 $T\in F,$ 得到

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .$

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 (Sokal 2011).

推論

該定理可以推出：若一列有界算子 (T_n) 逐點收斂，即對 X 的任意元素 x, 序列 (T_n(x)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.

注意上述推論並未斷言 T_n 在算子範數的意義下收斂到 T, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (T_n) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 T_n 一致收斂到 T.

另一推論為：賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，S 的元素（視為 X 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 Y** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 Y 的範數。

記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

$R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing$

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪X_n, 故為閉集 X_n 的可數並。按照定理的證明過程，每個 X_n 都无处稠密，故 ∪X_n 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即：

若 X 為巴拿赫空間，{Y_n} 為一系列賦範空間，F_n 為 L(X, Y_n) 的無界子集，則集合 $R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} ,\;\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}$ 為第二綱集，因此在 X 中稠密。

原因是，R 的補集可以寫成第一綱集的可數並

$\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.$

因此其剩餘集 R 稠密。

例子：傅立葉級數的逐點收斂

設 $\mathbb {T}$ 為單位圓，$C(\mathbb {T} )$ 為 $\mathbb {T}$ 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 $C(\mathbb {T} )$ 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對 $f\in C(\mathbb {T} ),$ 其傅立葉級數定義為

$\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$

而級數的第 N 階對稱部分和為

$S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$

其中 D_N 為第 N 階狄利克雷核。選定 $x\in \mathbb {T} ,$ 然後考慮序列 (S_N(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函 $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C}$ ：

$\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$

則 φ_N,x 有界。而 φ_N,x 於 $C(\mathbb {T} )$ 的對偶空間的範數，是帶號測度 (2π)⁻¹D_N(x−t) dt 的範數，故

$\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$

可以驗證

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$

故族 {φ_N,x} 是 $C(\mathbb {T} )^{\ast }$ ($C(\mathbb {T} )$ 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 $x\in \mathbb {T} ,$傅立葉級數於 x 發散的連續函數在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (x_m) 為 $\mathbb {T}$ 中的稠密序列。如上定義 φ_N,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 x_m 都發散的連續函數在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理，一個連續函數 f 的傅立葉級數，幾乎於每一點 $x\in \mathbb {T}$ 都收斂到 f(x).

推廣

受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間。其上的一致有界性原理為(Bourbaki 1987，Theorem III.2.1):

給定桶型空間 X 和局部凸空間Y, 則任意一族由 X 映向 Y 的逐點有界的连续线性算子都等度连续。

若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的，則結論同樣成立。(Shtern 2001)

Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論：

若 X 為 Fréchet 空間， Y 為賦範空間，H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 X 中的任意元素 x，

$\sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,$

則族 H 等度連續。

參見

• 桶型空間是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

參考文獻

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01） . （法文）
• Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6 
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
• Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
• Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理