一致有界性原理

数学上，一致有界性原理，又称巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要结果。定理断言，对于任意一族定义在巴拿赫空间上的连续线性算子，该族算子逐点有界，当且仅当其在算子范数意义下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯于1927年发表，亦由汉斯·哈恩独立证出。

定理内容

设 X 和 Y 为两个巴拿赫空间。假设 F 为由 X 映向 Y 的若干个连续线性算子的集合。若对于 X 中的任意一个 x ，都有

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$

则

$\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .$

证明

由于 X 完备，利用贝尔纲定理可以得到以下简短的证明。

假定对于 X 中的任意一个 x, 都有

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$

对任意整数 $n\in \mathbb {N} ,$记

$X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.$

则 $X_{n}$ 为闭集，且由假设有

$\bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$

贝尔纲定理适用于非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 $X_{m}$ 的内部非空，即存在 $x_{0}\in X_{m}$ 和 ε > 0 使得

${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.$

设 u ∈ X 满足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 则有：

${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$

使 u 历遍 X 的单位球，并取遍 $T\in F,$ 得到

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .$

因此定理成立。

也有无需贝尔纲定理的简单证明，例如 (Sokal 2011).

推论

该定理可以推出：若一列有界算子 (T_n) 逐点收敛，即对 X 的任意元素 x, 序列 (T_n(x)) 都收敛，则该列有界算子的逐点极限定义了另一个有界算子 T.

注意上述推论并未断言 T_n 在算子范数的意义下收敛到 T, 即：在有界集上一致收敛。然而，由于 (T_n) 在算子范数意义下有界，且其极限算子为一个连续算子 T, 可以利用标准的 "3-ε" 技巧证明，在任意紧集上，均有 T_n 一致收敛到 T.

另一推论为：赋范空间 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以将 S 看成巴拿赫空间 X = Y* (Y的连续对偶）上逐点有界的一族连续线性算子。由一致有界性原理，S 的元素（视为 X 的线性泛函）的算子范数（即双对偶 Y** 上的范数）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在双对偶空间的范数，等于其于原空间 Y 的范数。

记 L(X, Y) 为自 X 映向 Y 的连续线性算子空间（赋以算子范数）。若族 F 为 L(X, Y) 的无界子集，则由一致有界性原理，有：

$R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing$

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的补集是 ∪X_n, 故为闭集 X_n 的可数并。按照定理的证明过程，每个 X_n 都无处稠密，故 ∪X_n 为第一纲集。所以 R 是贝尔空间中一个第一纲集的补集。根据贝尔空间的定义，这样的集（称为剩余集）是稠密的。如此推理可得奇点凝聚原理，即：

若 X 为巴拿赫空间，{Y_n} 为一系列赋范空间，F_n 为 L(X, Y_n) 的无界子集，则集合 $R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} ,\;\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}$ 为第二纲集，因此在 X 中稠密。

原因是，R 的补集可以写成第一纲集的可数并

$\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.$

因此其剩余集 R 稠密。

例子：傅立叶级数的逐点收敛

设 $\mathbb {T}$ 为单位圆，$C(\mathbb {T} )$ 为 $\mathbb {T}$ 上连续函数在一致范数意义下组成的巴拿赫空间。由一致有界性原理，可以证明 $C(\mathbb {T} )$ 中有一个元素，其傅立叶级数不逐点收敛。

对 $f\in C(\mathbb {T} ),$ 其傅立叶级数定义为

$\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$

而级数的第 N 阶对称部分和为

$S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$

其中 D_N 为第 N 阶狄利克雷核。选定 $x\in \mathbb {T} ,$ 然后考虑序列 (S_N(f)(x)) 的收敛性。以下式定义泛函 $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C}$ ：

$\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$

则 φ_N,x 有界。而 φ_N,x 于 $C(\mathbb {T} )$ 的对偶空间的范数，是带号测度 (2π)⁻¹D_N(x−t) dt 的范数，故

$\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$

可以验证

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$

故族 {φ_N,x} 是 $C(\mathbb {T} )^{\ast }$ ($C(\mathbb {T} )$ 的对偶）的无界子集。因此，由一致有界性原理可知，对任意 $x\in \mathbb {T} ,$傅立叶级数于 x 发散的连续函数在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。

也可运用奇点凝聚原理来得出更强的结论。设 (x_m) 为 $\mathbb {T}$ 中的稠密序列。如上定义 φ_N,xm. 则由奇点凝聚原理，傅立叶级数于每一个 x_m 都发散的连续函数在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。（然而要注意，根据卡尔松定理，一个连续函数 f 的傅立叶级数，几乎于每一点 $x\in \mathbb {T}$ 都收敛到 f(x).

推广

受最少限制，而类似结论仍然适用的空间，是桶型空间。其上的一致有界性原理为(Bourbaki 1987，Theorem III.2.1):

给定桶型空间 X 和局部凸空间Y, 则任意一族由 X 映向 Y 的逐点有界的连续线性算子都等度连续。

若把 X 换成一个贝尔空间而保持 Y 为局部凸的，则结论同样成立。(Shtern 2001)

Dieudonné (1970) 证明了 Fréchet 空间上一个较弱的结论：

若 X 为 Fréchet 空间， Y 为赋范空间，H 为由 X 映向 Y 的若干连续线性算子组成的集合，其满足对 X 中的任意元素 x，

$\sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,$

则族 H 等度连续。

参见

• 桶型空间是具有最少条件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓扑向量空间。

参考文献

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01） . （法文）
• Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6 
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
• Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
• Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 闭图像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理