狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣（state-transition matrix）是控制理論中的矩陣，是時間$t$和初始時間$t_{0}$的函數，可以將時間$t_{0}$的狀態向量$x$和此矩陣相乘，得到時間$t$時的狀態向量$x$。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。

線性系統的解

狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解：

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,

其中$\mathbf {x} (t)$為系統狀態，$\mathbf {u} (t)$為輸入信號，而$\mathbf {x} _{0}$為時間$t_{0}$時的初始條件。利用狀態轉移矩陣$\mathbf {\Phi } (t,\tau )$，其解如下：

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。

Peano-Baker級數解

更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$

其中$\mathbf {I}$為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂。

其他性質

狀態轉移矩陣$\mathbf {\Phi } (t,\tau )$可以表示為下式

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

其中$\mathbf {U} (t)$為基礎矩陣，滿足下式

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$

狀態轉移矩陣是$n\times n$的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若$\mathbf {u} (t)=0$，再給定任意時間$\tau$下的狀態$\mathbf {x} (\tau )$，另一個時間$t$的狀態可由以下映射求得

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係：

${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ and

$\mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I$對於所有的$\tau$，其中$I$為單位矩陣。

$\mathbf {\Phi }$也有以下的性質：

1.	$\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$
2.	$\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$
3.	$\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$
4.	${\frac {d\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{dt}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$

若系統是时不变系统，可以將$\mathbf {\Phi }$定義為

$\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

註解

• Baake, M.; Schlaegel, U. The Peano Baker Series 275. 2011: 155–159. 
• Brogan, W.L. Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7. 

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