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状态转移矩阵

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状态转移矩阵(state-transition matrix)是控制理论中的矩阵,是时间和初始时间的函数,可以将时间的状态向量和此矩阵相乘,得到时间时的状态向量。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。

线性系统的解

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状态转移矩阵用来找以下形式线性系统状态空间下的解:

,

其中为系统状态,为输入信号,而为时间时的初始条件。利用状态转移矩阵,其解如下[1][2]

第一项为零输入响应(zero-input response),第二项为零状态响应(zero-state response)。

Peano-Baker级数解

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更广义的状态转移矩阵可以用Peano-Baker级数解求得

其中单位矩阵。此矩阵均匀收敛到一个存在而且唯一的解,而且是绝对收敛[2]

其他性质

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状态转移矩阵可以表示为下式

其中基础矩阵英语Fundamental matrix (linear differential equation),满足下式

状态转移矩阵是的矩阵,是会映射到本身的线性映射。若,再给定任意时间下的状态,另一个时间的状态可由以下映射求得

状态转移矩阵恒满足以下的关系:

and
对于所有的,其中为单位矩阵[3]

也有以下的性质:

1.
2.
3.
4.

若系统是时不变系统,可以将定义为

在时变系统的例子中,可能有许多不同的函数满足上述条件,而解和系统的结构有关。在分析时变系统的解之前,需要先确定其状态转移矩阵。

注解

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参考资料

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  1. ^ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike. The Peano Baker Series. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011, 275: 155–159. 
  2. ^ 2.0 2.1 Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1996. ISBN 0-13-441205-2. 
  3. ^ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5. 

相关条目

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