萊布尼茨函數

在仿射幾何和歐氏幾何中，萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切；用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數

考慮仿射空間$E$和相伴的向量空間$V$。設$(A_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$點的族，$(a_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$數量的族。與系統$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$相伴的萊布尼茨向量函數是從$E$到$V$的映射，把點$M$對應到向量${\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}$。

設係數和$\sum _{i=1}^{n}a_{i}$為零，那麼函數是常值。如果有一個係數非零（例如$a_{1}$），這常值等於$a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}$，其中$G_{1}$是系統$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}$的重心。

設係數和非零，函數可化簡成

${\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}$

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維，由此可以給出重心的座標。

其實${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$。

把上式轉為座標就是

$x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}$

萊布尼茨標量函數

考慮歐幾里得仿射空間$E$和相伴的域$\mathbb {K}$。設$(A_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$點的族，$(a_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$數量的族。與系統$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$相伴的萊布尼茨標量函數，是從$E$到$\mathbb {K}$的映射，把點M對應到數量$f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$。

設係數和$\sum _{i=1}^{n}a_{i}$為零，那麼函數可化簡成

$f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}$

其中${\vec {u}}$等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值，$O$是任意固定點。

設係數和非零，那麼函數可化簡成

$f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}$

其中$G$是系統$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決（見萊布尼茨定理）。

例：在2維情形，集$M$適合$f(M)=k$的是

• 當係數和為零
  • 與${\vec {u}}$垂直的直線，如果${\vec {u}}$非零
  • 整個平面或空集（取決於$k$的值），如果${\vec {u}}$為零
• 當係數和非零
  • 圓心為$G$的圓，點$G$或空集（取決於$k$的值）

參見

• 萊布尼茨定理
• 重心 (仿射幾何)