莱布尼茨函数

在仿射几何和欧氏几何中，莱布尼茨向量和标量函数是把点对应到向量或数量的函数。这种函数和重心关系密切；用重心可以给出函数的简洁形式。

莱布尼茨向量函数

考虑仿射空间$E$和相伴的向量空间$V$。设$(A_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$点的族，$(a_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$数量的族。与系统$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$相伴的莱布尼茨向量函数是从$E$到$V$的映射，把点$M$对应到向量${\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}$。

设系数和$\sum _{i=1}^{n}a_{i}$为零，那么函数是常值。如果有一个系数非零（例如$a_{1}$），这常值等于$a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}$，其中$G_{1}$是系统$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}$的重心。

设系数和非零，函数可化简成

${\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}$

这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维，由此可以给出重心的座标。

其实${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$。

把上式转为座标就是

$x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}$

莱布尼茨标量函数

考虑欧几里得仿射空间$E$和相伴的域$\mathbb {K}$。设$(A_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$点的族，$(a_{i})_{i=1\cdots n}$是$n$数量的族。与系统$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$相伴的莱布尼茨标量函数，是从$E$到$\mathbb {K}$的映射，把点M对应到数量$f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$。

设系数和$\sum _{i=1}^{n}a_{i}$为零，那么函数可化简成

$f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}$

其中${\vec {u}}$等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值，$O$是任意固定点。

设系数和非零，那么函数可化简成

$f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}$

其中$G$是系统$\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$的重心。

这个化简令点的位置问题可以很容易解决（见莱布尼茨定理）。

例：在2维情形，集$M$适合$f(M)=k$的是

• 当系数和为零
  • 与${\vec {u}}$垂直的直线，如果${\vec {u}}$非零
  • 整个平面或空集（取决于$k$的值），如果${\vec {u}}$为零
• 当系数和非零
  • 圆心为$G$的圆，点$G$或空集（取决于$k$的值）

参见

• 莱布尼茨定理
• 重心 (仿射几何)