伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（英语：Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。

下文中，设 $G$ 是一个有限群，作用在集合 $X$ 上。对每个属于 $G$ 的 $g$ ，令 $X^{g}$ 表示 $X$ 中在 $g$ 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 $|X/G|$）由如下公式给出：

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.\,$

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

应用举例

环状排列

使用两种颜色对三个珠子染色，共有$2^{3}=8$种染色方法，而只有四种旋转后不重合的染色方法，用二元数列表示为$000,001,011,111$。旋转对称将染色方法的集合X分为四个轨道：$X=\{000\}\cup \{001,010,100\}\cup \{011,101,110\}\cup \{111\}$。考虑三种可能的旋转：“空旋转”，顺时针转一个单位，顺时针转两个单位；它们对应的不动点数目分别为8，2，2，因此轨道数为${\frac {1}{3}}(8+2+2)=4$。对于长度为4的环状排列，共有16种染色方法，4个旋转；0个单位的旋转有16个不动点，1个单位和3个单位的旋转有不动点0000,1111；2个单位的旋转有不动点0000,0101,1010,1111。因此轨道数为${\frac {1}{4}}(16+2+4+2)=6$。具体地，0000,0001,0011,0101,0111,1111为六种旋转后不重合的染色方法。

立方体染色

使用三种颜色对立方体的六个面染色，将旋转后相同的视为一种染色，染色方式总数可以由上述公式确定。

选取一个定向，设$X$是这个定向立方体所有$3^{6}$种可能面染色组合，立方体的旋转群$G$显然是作用在$X$上的群。且若$X$的两个元素（染色组合）属于同一轨道，则其中一个染色可以通过旋转变成另一个染色，因而考虑旋转对称后不同的染色数就是$X$关于$G$的轨道数，可以通过数$G$的$24$个元素的不动集合的大小求出来。

立方体面染色

• 一个恒同元素保持 X 的所有 3⁶ 个元素不变。
• 六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。
• 三个 180 度面旋转，每一个保持 X 的 3⁴ 个元素不变。
• 八个 120 度顶点旋转，每一个保持 X 的 3² 个元素不变。
• 六个 180 度边旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。

这些自同构的详细检验可参见循环指标。

这样，平均不动集合的大小是

${\frac {1}{24}}(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3})=57.\,$

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地，使用 n 种颜色，立方体不同的旋转面染色数是

${\frac {1}{24}}(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}).\,$

证明

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实：

$\sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|$

$=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}$

$=|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.$

历史：该引理不属于伯恩赛德

威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理，将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前，这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上，这个引理明显如此有名，伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此，这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 。这可能看起来不那么有歧义，伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

另见

• 波利亚计数定理

参考文献

• 伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
• 弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
• 纽曼, 彼得·迈克尔, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
• Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
• Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .