伯恩賽德引理

伯恩賽德引理（英語：Burnside's lemma），也叫伯恩賽德計數定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗羅貝尼烏斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或軌道計數定理（orbit-counting theorem），是群論中一個結果，在考慮對稱的計數中經常很有用。該結論被冠以多個人的名字，其中包括威廉·伯恩賽德、波利亞、柯西和弗羅貝尼烏斯。這個命題不屬於伯恩賽德自己，他只是在自己的書中《有限群論 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而將其歸於弗羅貝尼烏斯 (1887)。

下文中，設 $G$ 是一個有限群，作用在集合 $X$ 上。對每個屬於 $G$ 的 $g$ ，令 $X^{g}$ 表示 $X$ 中在 $g$ 作用下的不動元素。伯恩賽德引理斷言軌道數（記作 $|X/G|$）由如下公式給出：

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.\,$

從而軌道數（是一個自然數或無窮）等於被 G 中一個元素保持不動的點個數的平均值（故同樣是自然數或無窮）。

應用舉例

環狀排列

使用兩種顏色對三個珠子染色，共有$2^{3}=8$種染色方法，而只有四種旋轉後不重合的染色方法，用二元數列表示為$000,001,011,111$。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道：$X=\{000\}\cup \{001,010,100\}\cup \{011,101,110\}\cup \{111\}$。考慮三種可能的旋轉：「空旋轉」，順時針轉一個單位，順時針轉兩個單位；它們對應的不動點數目分別為8，2，2，因此軌道數為${\frac {1}{3}}(8+2+2)=4$。對於長度為4的環狀排列，共有16種染色方法，4個旋轉；0個單位的旋轉有16個不動點，1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111；2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為${\frac {1}{4}}(16+2+4+2)=6$。具體地，0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。

立方體染色

使用三種顏色對立方體的六個面染色，將旋轉後相同的視為一種染色，染色方式總數可以由上述公式確定。

選取一個定向，設$X$是這個定向立方體所有$3^{6}$種可能面染色組合，立方體的旋轉群$G$顯然是作用在$X$上的群。且若$X$的兩個元素（染色組合）屬於同一軌道，則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色，因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是$X$關於$G$的軌道數，可以通過數$G$的$24$個元素的不動集合的大小求出來。

立方體面染色

• 一個恆同元素保持 X 的所有 3⁶ 個元素不變。
• 六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 3³ 個元素不變。
• 三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 3⁴ 個元素不變。
• 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 3² 個元素不變。
• 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 3³ 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標。

這樣，平均不動集合的大小是

${\frac {1}{24}}(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3})=57.\,$

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

${\frac {1}{24}}(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}).\,$

證明

定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交並的事實：

$\sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|$

$=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}$

$=|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.$

歷史：該引理不屬於伯恩賽德

威廉·伯恩賽德在他1897年關於有限群的書中陳述並證明了這個引理，將其歸於弗羅貝尼烏斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸於柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 。這可能看起來不那麼有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

另見

• 波利亞計數定理

參考文獻

• 伯恩賽德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
• 弗羅貝尼烏斯, 費迪南德·格奧爾格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
• 紐曼, 彼得·邁克爾, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
• Cheng, Yuanyou (程遠遊), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
• Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .