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初等群论

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群论


数学中, <G,*> 定义为集合 G 和叫做“乘积”并指示为中缀 "*" 的 G 上的二元运算。乘积服从下列规则(也叫做公理)。设 a, bcG 的任意元素。则:

  • A1, 封闭性a*bG 中;
  • A2, 结合律。(a*b)*c = a*(b*c);
  • A3, 单位元。存在一个 G 中的单位元 e 使得 a*e = e*a = aG 的单位元 e 据下述定理 1.4 是唯一性的;
  • A4逆元。对于每个 Ga,存在一个 G 中的逆元 x 使得 a*x = x*a = ea 的逆元 x 据下述定理 1.5 是唯一性的。

阿贝尔群还服从额外的规则:

封闭性是二元运算定义的一部分,因此 A1 经常省略。

细节

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  • 群乘积 "*" 不必然是乘法。加法也可以,很多更不标准的运算也行。
  • 在 * 是标准运算的时候,我们转而使用标准符号(比如对加法使用 +)。
  • 在 * 是加法或(除了乘法)任何交换运算的时候,0 通常指示单位元,而 -a 指示 a 的逆元。运算总是用非 * 的东西经常为 + 来避免混淆于乘法。
  • 在 * 是乘法或非交换运算的时候,a*b 经常写为 ab。1 通常指示单位元,而a -1 通常指示 a 的逆元。
  • 群 <G,*> 经常被称为“群 G”或简称“G”;但是运算 "*" 对于群的描述是基础性的。
  • <G,*> 经常念为“在 * 下的群 G”。在断定 G 是一个群的时候(比如在定理中),我们说“G 是在 * 下的一个群”。

例子

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G = {1,-1} 是乘法下的一个群,因为对于所有 G 中的元素 a, b, c:

A1: a*bG 的一个元素.
A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通过枚举所有 8 种可能(和平凡的)情况来验证。
A3: a*1 = a。因为 1 是单位元
A4: a-1*a = 1。因此 a-1 指示逆元而单位元 1 是自身的逆元

整数Z实数R 是在加法 '+' 下的群,对于所有 Z 或者 R 中的元素 a, bc:

A1: 任何两个数相加产生同类的另一个数。
A2: (a+b)+c = a+(b+c)。
A3: a+0 = a。因此 0 是单位元
A4: -a+a = 0。因此 -a 指示逆元而单位元 0 是自身的逆元

实数R 是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 a, bc:

A3: 单位元是 1。
A4: 0*a = 0,所以 0 没有逆元。

实数集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。

A1: 任何两个 R# 的元素相乘产生 R# 的另一个元素。
A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
A3: a*1 = a。因此 1 指示单位元。
A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。

可替代的公理

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A3 和 A4 可以被替代为:

  • A3’,左单位元。存在一个 G 中元素 e 使得对于所有 G 中的 ae*a = a
  • A4’,左逆元,对于每个 G 中的 a,存在一个 G 中的元素 x 使得 x*a = e

还可以替代为:

  • A3’’,右单位元。存在一个 G 中的 e 使得对于所有 G 中的 aa*e = a
  • A4’’,右逆元。对于每个 G 中的 a,存在一个 G 中的元素 x 使得 a*x = e

这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。

定理: A1 和 A2 ,A3’ 和 A4’ 蕴含 A3 和 A4。

证明。假设给出了左单位元 eG 中的 a,根据 A4’存在一个 x 使得 x*a = e

我们欲证明的是 a*x = e。 根据 A4’存在 G 中的一个 y 有着:

所以:

e = y * (a * x) (1)
= y * (a * (e * x)) (A3')
= y * (a * ((x * a) * x)) (A4')
= y * (a * (x * (a * x))) (A2)
= y * ((a * x) * (a * x)) (A2)
= (y * (a * x)) * (a * x) (A2)
= e * (a * x) (1)
= a * x (A3')

这确立了 A4。

a * e = a * (x * a) (A4)
= (a * x) * a (A2)
= e * a (A4)

这确立了 A3。

定理: A1 和 A2,A3’’和 A4’’蕴含 A3 和 A4。

证明。类似上述。

基本定理

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单位元唯一

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定理 1.4: 群 <G,*> 的单位元是唯一的。

证明: 假设 efG 的两个单位元。则

e = e * f (A3)
= f (A3')

在讨论和比较不同的群的时候,eG 指示特定群 <G,*> 的唯一单位元。

逆元唯一

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定理 1.5: <G,*> 中每个元素的逆元是唯一的。

证明: 假设 hkG 的元素 g 的两个逆元。则

h = h * e (A3)
= h * (g * k) (A4)
= (h * g) * k (A2)
= (e * k) (A4)
= k (A3)

没有歧义性的,对于所有 G 中的a,我们指示 a 的唯一逆元为 a -1

拉丁方阵性质

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定理 1.3: 对于所有 G 中元素 a,b,存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b

证明。的确存在至少一个这种 x,因为如果我们设 x = a -1*b,则 xG 中(通过 A1,闭包)并且:

  • a*x = a*(a -1*b) (代换 x)
  • a*(a -1*b) = (a*a -1)*b (结合律 A2)。
  • (a*a -1)*b = e*b = b. (单位元 A3)。
  • 因此总是存在一个 x 满足 a*x = b

为了证明这是唯一性的,如果 a*x = b,则

  • x = e*x
  • e*x = (a -1*a)*x
  • (a -1*a)*x = a -1*(a*x)
  • a -1*(a*x) = a -1*b
  • 因此,x = a -1*b

类似的,对于所有 G 中的 a,b,存在唯一的一个 G 中的 y 使得 y*a = b

两次逆换回到起点

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定理 1.6: 对于所有群 G 中的元素 a,(a -1) -1 = a

证明a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

ab的逆元

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定理 1.7: 对于所有群 G 中元素 a,b,(a*b) -1 = b -1*a -1

证明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。结论得出自定理 1.4。

消除

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定理 1.8: 对于所有群 G 中的元素 a,xy,如果 a*x = a*y,则 x = y;并且如果 x*a = y*a,则 x = y

证明。如果 a*x = a*y 则:

  • a -1*(a*x) = a -1*(a*y)
  • (a -1*a)*x = (a -1*a)*y
  • e*x = e*y
  • x = y

如果 x*a = y*a

  • (x*a)*a -1 = (y*a)*a -1
  • x*(a*a -1) = y*(a*a -1)
  • x*e = y*e
  • x = y

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对于 我们定义:

定理 1.9: 对于所有群 <G,*> 中的 a:

类似的如果 G 使用了加法符号,我们有:

并且:

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群元素的阶

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G 中的元素 a 的阶是最小正整数 n 使得 an = e。有些它写为“o(a)=n”。n 可以是无限的。

定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说,如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立,则对于所有 G 中的 a,ba*b = b*a


证明 1。设 a, b 是群 G 中任何 2 个元素。 由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素,所以 (a*b) 是群 G 的 2 阶元素

  • a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e ...(1) by 公理 A2
  • a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 阶元素
  • a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)两式皆等于e
  • b*b*a = b*a*b ...(4) by 定理 1.8
  • b*a = a*b ...(5) by 定理 1.8

因为群运算 * 是符合交换律的,这个群是阿贝尔群


证明 2。设 a, h 是群 G 中任何 2 个元素。通过 A1,a*h 也是 G 的成员。使用给定条件,我们知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:

  • a*(a*b)*(a*b) = a*e
  • a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
  • (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
  • e*(b*a)*e = a*b
  • b*a = a*b

因为群运算 * 是符合交换律的,这个群是阿贝尔群

群的阶

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G,通常指示为 |G| 或偶尔指示为 o(G),在 <G,*> 是有限群的情况下是集合 G 中元素的数目。如果 G无限集合,则群 <G,*> 有等于 G的阶,而且是无限群。

子群

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G子集 H 被称为群 <G,*> 的子群,如果使用相同的算子 "*",并限制于子集 H 内,H 满足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群,则 <H,*> 也是群,并在限制于 H 内,满足上述定理。子群 H 的阶是 H 中元素的数目。

G 的真子群是不同于 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。

定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群,则 在 H 中的单位元 eH 同一于 (G,*) 中的单位元 e

证明。如果 hH 中,则 h*eH = h;因为 h 必定也在 G 中,h*e = h;所以通过定理 1.4,eH = e

定理 2.2: 如果 HG 的子群,并且 hH 的元素,则 hH 中的逆元同一于 hG 中的逆元。

证明。设 hkH 的元素,使得 h*k = e;因为 h 必定也在 G 中,h*h -1 = e;所以通过定理 1.5,k = h -1

给定 G 的子集 S,我们经常想要确定 S 是否也是 G 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:

定理 2.3: 如果 SG 的非空子集,则 SG 的子群,当且仅当对于所有 S 中的 a,ba*b -1S 中。

证明。如果对于所有 S 中的 a, ba*b -1S 中,则

  • eS 中,因为 a*a -1 = eS 中。
  • 对于所有 S 中的 ae*a -1 = a -1S 中。
  • 对于所有 S 中的 a, ba*b = a*(b -1) -1S 中。

因此,满足了闭包、单位元和逆元公理,而结合律是继承来的,所以 S 是子群。

反过来说,如果 SG 的子群,则它满足群公理。

  • 如上所述,S 中单位元同一于 G 中的单位元 e
  • 通过 A4,对于所有 S 中的 bb -1S 中。
  • 通过 A1,a*b -1S 中。

两个或更多个子群的交集也是子群。

定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。

证明。设 {Hi} 是 G 的子群的集合,并设 K = ∩{Hi}。通过定理 2.1,e 是所有 Hi 的成员;因此 K 非空。如果 hkK 的两个元素,则对于所有 i

  • hkHi 中。
  • 通过前面的定理,h*k -1Hi
  • 所以,h*k -1 在 ∩{Hi} 中。

因此对于 K 中的所有 h, kh*k -1K 中。接着通过前面的定理,K=∩{Hi} 是 G 的子群;并且事实上 K 是每个 Hi 的子群。

给定一个群 <G,*>,定义 x*xx², x*x*x*...*x (n 次)为 xn,并定义 x0 = e。类似的,定义 x -n 为 (x -1)n。则我们有:

定理 2.5: 设 a 是群 (G,*) 的元素。则集合 { an: n 是整数 } 是 G 的子群。

证明。这种类型的子群叫做循环子群;a 的幂的子群经常写为 <a>,并称为 a 生成 <a>。

陪集

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如果 STG 的子集,并且 aG 的元素,我们写“a*S”来提及形如 a*s 的所有元素构成的 G 的子集,这里的 sS 的元素;类似的,我们写“S*a”来指示形如 s*a 的元素的集合。我们写 S*T 表示形如 s*t 的元素构成的 G 的子集,这里的 sS 的元素而 tT 的元素。

如果 HG 的子群,则 H 对于某个 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a

如果 HG 的子群,则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:

  • 如果 xyG 的元素,则要么 x*H = y*H,要么 x*Hy*H 有空交集。
  • 所有 HG 中的左(右)陪集都包含相同数目的元素。
  • GH 的左(右)陪集们的不交并集。
  • 那么 H 的不相同的左陪集的数目等于 H 的不相同的右陪集的数目。

定义群 G 的子群 H 的指标(写为“[G:H]”)为 HG 中不同的左陪集的数目。

从这些定理,我们可以推导出重要的拉格朗日定理,它有关于群的子群的阶:

对于有限群,它可以重申为:

  • 拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群,则 H 的阶整除 G 的阶。
  • 如果群 G 的阶是素数,G 是循环群。

参见

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引用

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