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初等群論

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群論


數學中, <G,*> 定義為集合 G 和叫做「乘積」並指示為中綴 "*" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, bcG 的任意元素。則:

  • A1, 封閉性a*bG 中;
  • A2, 結合律。(a*b)*c = a*(b*c);
  • A3, 單位元。存在一個 G 中的單位元 e 使得 a*e = e*a = aG 的單位元 e 據下述定理 1.4 是唯一性的;
  • A4逆元。對於每個 Ga,存在一個 G 中的逆元 x 使得 a*x = x*a = ea 的逆元 x 據下述定理 1.5 是唯一性的。

阿貝爾群還服從額外的規則:

封閉性是二元運算定義的一部分,因此 A1 經常省略。

細節

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  • 群乘積 "*" 不必然是乘法。加法也可以,很多更不標準的運算也行。
  • 在 * 是標準運算的時候,我們轉而使用標準符號(比如對加法使用 +)。
  • 在 * 是加法或(除了乘法)任何交換運算的時候,0 通常指示單位元,而 -a 指示 a 的逆元。運算總是用非 * 的東西經常為 + 來避免混淆於乘法。
  • 在 * 是乘法或非交換運算的時候,a*b 經常寫為 ab。1 通常指示單位元,而a -1 通常指示 a 的逆元。
  • 群 <G,*> 經常被稱為「群 G」或簡稱「G」;但是運算 "*" 對於群的描述是基礎性的。
  • <G,*> 經常念為「在 * 下的群 G」。在斷定 G 是一個群的時候(比如在定理中),我們說「G 是在 * 下的一個群」。

例子

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G = {1,-1} 是乘法下的一個群,因為對於所有 G 中的元素 a, b, c:

A1: a*bG 的一個元素.
A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通過枚舉所有 8 種可能(和平凡的)情況來驗證。
A3: a*1 = a。因為 1 是單位元
A4: a-1*a = 1。因此 a-1 指示逆元而單位元 1 是自身的逆元

整數Z實數R 是在加法 '+' 下的群,對於所有 Z 或者 R 中的元素 a, bc:

A1: 任何兩個數相加產生同類的另一個數。
A2: (a+b)+c = a+(b+c)。
A3: a+0 = a。因此 0 是單位元
A4: -a+a = 0。因此 -a 指示逆元而單位元 0 是自身的逆元

實數R 是乘法 '*' 下的群。對於所有 R 中的 a, bc:

A3: 單位元是 1。
A4: 0*a = 0,所以 0 沒有逆元。

實數集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。

A1: 任何兩個 R# 的元素相乘產生 R# 的另一個元素。
A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
A3: a*1 = a。因此 1 指示單位元。
A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。

可替代的公理

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A3 和 A4 可以被替代為:

  • A3’,左單位元。存在一個 G 中元素 e 使得對於所有 G 中的 ae*a = a
  • A4’,左逆元,對於每個 G 中的 a,存在一個 G 中的元素 x 使得 x*a = e

還可以替代為:

  • A3’’,右單位元。存在一個 G 中的 e 使得對於所有 G 中的 aa*e = a
  • A4’’,右逆元。對於每個 G 中的 a,存在一個 G 中的元素 x 使得 a*x = e

這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。

定理: A1 和 A2 ,A3’ 和 A4’ 蘊含 A3 和 A4。

證明。假設給出了左單位元 eG 中的 a,根據 A4’存在一個 x 使得 x*a = e

我們欲證明的是 a*x = e。 根據 A4’存在 G 中的一個 y 有著:

所以:

e = y * (a * x) (1)
= y * (a * (e * x)) (A3')
= y * (a * ((x * a) * x)) (A4')
= y * (a * (x * (a * x))) (A2)
= y * ((a * x) * (a * x)) (A2)
= (y * (a * x)) * (a * x) (A2)
= e * (a * x) (1)
= a * x (A3')

這確立了 A4。

a * e = a * (x * a) (A4)
= (a * x) * a (A2)
= e * a (A4)

這確立了 A3。

定理: A1 和 A2,A3’’和 A4’’蘊含 A3 和 A4。

證明。類似上述。

基本定理

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單位元唯一

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定理 1.4: 群 <G,*> 的單位元是唯一的。

證明: 假設 efG 的兩個單位元。則

e = e * f (A3)
= f (A3')

在討論和比較不同的群的時候,eG 指示特定群 <G,*> 的唯一單位元。

逆元唯一

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定理 1.5: <G,*> 中每個元素的逆元是唯一的。

證明: 假設 hkG 的元素 g 的兩個逆元。則

h = h * e (A3)
= h * (g * k) (A4)
= (h * g) * k (A2)
= (e * k) (A4)
= k (A3)

沒有歧義性的,對於所有 G 中的a,我們指示 a 的唯一逆元為 a -1

拉丁方陣性質

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定理 1.3: 對於所有 G 中元素 a,b,存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b

證明。的確存在至少一個這種 x,因為如果我們設 x = a -1*b,則 xG 中(通過 A1,閉包)並且:

  • a*x = a*(a -1*b) (代換 x)
  • a*(a -1*b) = (a*a -1)*b (結合律 A2)。
  • (a*a -1)*b = e*b = b. (單位元 A3)。
  • 因此總是存在一個 x 滿足 a*x = b

為了證明這是唯一性的,如果 a*x = b,則

  • x = e*x
  • e*x = (a -1*a)*x
  • (a -1*a)*x = a -1*(a*x)
  • a -1*(a*x) = a -1*b
  • 因此,x = a -1*b

類似的,對於所有 G 中的 a,b,存在唯一的一個 G 中的 y 使得 y*a = b

兩次逆換回到起點

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定理 1.6: 對於所有群 G 中的元素 a,(a -1) -1 = a

證明a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

ab的逆元

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定理 1.7: 對於所有群 G 中元素 a,b,(a*b) -1 = b -1*a -1

證明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。結論得出自定理 1.4。

消除

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定理 1.8: 對於所有群 G 中的元素 a,xy,如果 a*x = a*y,則 x = y;並且如果 x*a = y*a,則 x = y

證明。如果 a*x = a*y 則:

  • a -1*(a*x) = a -1*(a*y)
  • (a -1*a)*x = (a -1*a)*y
  • e*x = e*y
  • x = y

如果 x*a = y*a

  • (x*a)*a -1 = (y*a)*a -1
  • x*(a*a -1) = y*(a*a -1)
  • x*e = y*e
  • x = y

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對於 我們定義:

定理 1.9: 對於所有群 <G,*> 中的 a:

類似的如果 G 使用了加法符號,我們有:

並且:

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群元素的階

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G 中的元素 a 的階是最小正整數 n 使得 an = e。有些它寫為「o(a)=n」。n 可以是無限的。

定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說,如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立,則對於所有 G 中的 a,ba*b = b*a


證明 1。設 a, b 是群 G 中任何 2 個元素。 由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素,所以 (a*b) 是群 G 的 2 階元素

  • a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e ...(1) by 公理 A2
  • a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 階元素
  • a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)兩式皆等於e
  • b*b*a = b*a*b ...(4) by 定理 1.8
  • b*a = a*b ...(5) by 定理 1.8

因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群


證明 2。設 a, h 是群 G 中任何 2 個元素。通過 A1,a*h 也是 G 的成員。使用給定條件,我們知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:

  • a*(a*b)*(a*b) = a*e
  • a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
  • (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
  • e*(b*a)*e = a*b
  • b*a = a*b

因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群

群的階

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G,通常指示為 |G| 或偶爾指示為 o(G),在 <G,*> 是有限群的情況下是集合 G 中元素的數目。如果 G無限集合,則群 <G,*> 有等於 G的階,而且是無限群。

子群

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G子集 H 被稱為群 <G,*> 的子群,如果使用相同的算子 "*",並限制於子集 H 內,H 滿足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群,則 <H,*> 也是群,並在限制於 H 內,滿足上述定理。子群 H 的階是 H 中元素的數目。

G 的真子群是不同於 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一個不是 e 的元素的 G 的真子集。

定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群,則 在 H 中的單位元 eH 同一於 (G,*) 中的單位元 e

證明。如果 hH 中,則 h*eH = h;因為 h 必定也在 G 中,h*e = h;所以通過定理 1.4,eH = e

定理 2.2: 如果 HG 的子群,並且 hH 的元素,則 hH 中的逆元同一於 hG 中的逆元。

證明。設 hkH 的元素,使得 h*k = e;因為 h 必定也在 G 中,h*h -1 = e;所以通過定理 1.5,k = h -1

給定 G 的子集 S,我們經常想要確定 S 是否也是 G 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:

定理 2.3: 如果 SG 的非空子集,則 SG 的子群,當且僅當對於所有 S 中的 a,ba*b -1S 中。

證明。如果對於所有 S 中的 a, ba*b -1S 中,則

  • eS 中,因為 a*a -1 = eS 中。
  • 對於所有 S 中的 ae*a -1 = a -1S 中。
  • 對於所有 S 中的 a, ba*b = a*(b -1) -1S 中。

因此,滿足了閉包、單位元和逆元公理,而結合律是繼承來的,所以 S 是子群。

反過來說,如果 SG 的子群,則它滿足群公理。

  • 如上所述,S 中單位元同一於 G 中的單位元 e
  • 通過 A4,對於所有 S 中的 bb -1S 中。
  • 通過 A1,a*b -1S 中。

兩個或更多個子群的交集也是子群。

定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。

證明。設 {Hi} 是 G 的子群的集合,並設 K = ∩{Hi}。通過定理 2.1,e 是所有 Hi 的成員;因此 K 非空。如果 hkK 的兩個元素,則對於所有 i

  • hkHi 中。
  • 通過前面的定理,h*k -1Hi
  • 所以,h*k -1 在 ∩{Hi} 中。

因此對於 K 中的所有 h, kh*k -1K 中。接著通過前面的定理,K=∩{Hi} 是 G 的子群;並且事實上 K 是每個 Hi 的子群。

給定一個群 <G,*>,定義 x*xx², x*x*x*...*x (n 次)為 xn,並定義 x0 = e。類似的,定義 x -n 為 (x -1)n。則我們有:

定理 2.5: 設 a 是群 (G,*) 的元素。則集合 { an: n 是整數 } 是 G 的子群。

證明。這種類型的子群叫做循環子群;a 的冪的子群經常寫為 <a>,並稱為 a 生成 <a>。

陪集

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如果 STG 的子集,並且 aG 的元素,我們寫「a*S」來提及形如 a*s 的所有元素構成的 G 的子集,這里的 sS 的元素;類似的,我們寫「S*a」來指示形如 s*a 的元素的集合。我們寫 S*T 表示形如 s*t 的元素構成的 G 的子集,這里的 sS 的元素而 tT 的元素。

如果 HG 的子群,則 H 對於某個 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a

如果 HG 的子群,則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:

  • 如果 xyG 的元素,則要麼 x*H = y*H,要麼 x*Hy*H 有空交集。
  • 所有 HG 中的左(右)陪集都包含相同數目的元素。
  • GH 的左(右)陪集們的不交併集。
  • 那麼 H 的不相同的左陪集的數目等於 H 的不相同的右陪集的數目。

定義群 G 的子群 H 的指標(寫為「[G:H]」)為 HG 中不同的左陪集的數目。

從這些定理,我們可以推導出重要的拉格朗日定理,它有關於群的子群的階:

對於有限群,它可以重申為:

  • 拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群,則 H 的階整除 G 的階。
  • 如果群 G 的階是素數,G 是循環群。

參見

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引用

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