跳转到内容

英文维基 | 中文维基 | 日文维基 | 草榴社区

弗勒内-塞雷公式

本页使用了标题或全文手工转换
维基百科,自由的百科全书
空间曲线的切向量 T,法向量 N 和副法向量 B;以及切向量和法向量张成的密切平面

向量微积分中,弗勒内-塞雷公式Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说,弗勒内公式描述了曲线的切向,法向,副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内(于1847年的博士论文中)和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷(于1851年)分别提出。

单位切向量 T,单位法向量 N,单位副法向量 B,被称作 弗勒内标架,他们的具体定义如下:

  • T 是单位切向量,方向指向粒子运动的方向。
  • N 是切向量 T弧长参数的微分单位化得到的向量。
  • BTN外积

弗勒内公式如下:

其中d/ds 是对弧长的微分, κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式

[编辑]
平面曲线上的亮点的切向量和法向量,以及标架在运动过程中的旋转。

r(t) 为欧式空间R3中的曲线,表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

s(t)t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长

由于假设r′ ≠ 0,因此可以将 t 表示为 s 的函数,因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s),弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下:

  • 单位切向量 T
  • 主法向量 N
  • 副法向量 B 定义为 TN外积
螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量,红色的箭头表示法向量,黑色的箭头表示副法向量。

由于 所以 NT 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 TN,因此向量 TNB 互相垂直。

弗勒内公式如下:

其中 κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理,并且可以写做矩阵的形式:[1]

其中的矩阵是反对称矩阵

对弧长s求导,可以看成是对切方向的协变导数。

参阅

[编辑]

注释

[编辑]
  1. ^ Kühnel 2002,§1.9

参考资料

[编辑]
  • Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230 
  • Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995 
  • Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], (原始内容 (PDF)存档于2011-07-16) . Abstract in J. de Math. '17', 1852.
  • Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, (原始内容 (PDF)存档于2006-12-29) .
  • Griffiths, Phillip, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Mathematics Journal, 1974, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5 .
  • Guggenheimer, Heinrich, Differential Geometry, Dover, 1977, ISBN 0-486-63433-7 
  • Hanson, A.J., Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves (PDF), Indiana University Technical Report, 2007 
  • Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V., Frenet-Serret description of gyroscopic precession, Phys. Rev., D, 1993, 48 (12): 5706–5720 
  • Jordan, Camille, Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions, C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, 79: 795–797 
  • Kühnel, Wolfgang, Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174 
  • Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], (原始内容 (PDF)存档于2022-03-15) .
  • Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .
  • Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964 
  • Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部链接

[编辑]