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弗萊納公式

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空間曲線的切向量 T,法向量 N 和副法向量 B;以及切向量和法向量張成的密切平面

向量微積分中,弗勒內-塞雷公式Frenet–Serret 公式)用來描述歐幾里得空間R3中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說,弗勒內公式描述了曲線的切向,法向,副法方向之間的關係。這一公式由法國數學家讓·弗雷德里克·弗勒內(於1847年的博士論文中)和約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷(於1851年)分別提出。

單位切向量 T,單位法向量 N,單位副法向量 B,被稱作 弗勒內標架,他們的具體定義如下:

  • T 是單位切向量,方向指向粒子運動的方向。
  • N 是切向量 T弧長參數的微分單位化得到的向量。
  • BTN外積

弗勒內公式如下:

其中d/ds 是對弧長的微分, κ 為曲線的曲率,τ 為曲線的撓率。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。

弗勒內公式

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平面曲線上的亮點的切向量和法向量,以及標架在運動過程中的旋轉。

r(t) 為歐式空間R3中的曲線,表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗勒內公式只適用於正則曲線,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不為零的曲線。

s(t)t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長

由於假設r′ ≠ 0,因此可以將 t 表示為 s 的函數,因此可將曲線表示為弧長 s 的函數 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 r(s),弗勒內標架 (或弗勒內基底)定義如下:

  • 單位切向量 T
  • 主法向量 N
  • 副法向量 B 定義為 TN外積
螺旋線上弗勒內標架的運動。藍色的箭頭表示切向量,紅色的箭頭表示法向量,黑色的箭頭表示副法向量。

由於 所以 NT 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直於 TN,因此向量 TNB 互相垂直。

弗勒內公式如下:

其中 κ 為曲線的曲率,τ 為曲線的撓率

弗勒內公式有時也被稱作弗勒內定理,並且可以寫做矩陣的形式:[1]

其中的矩陣是反對稱矩陣

對弧長s求導,可以看成是對切方向的協變導數。

參閱

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註釋

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  1. ^ Kühnel 2002,§1.9

參考資料

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  • Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230 
  • Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995 
  • Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], (原始內容 (PDF)存檔於2011-07-16) . Abstract in J. de Math. '17', 1852.
  • Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, (原始內容 (PDF)存檔於2006-12-29) .
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  • Jordan, Camille, Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions, C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, 79: 795–797 
  • Kühnel, Wolfgang, Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174 
  • Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], (原始內容 (PDF)存檔於2022-03-15) .
  • Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .
  • Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964 
  • Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部連結

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