连通和

在数学里，尤其是在拓扑学里，连通和的运算是指一于流形上的几何改变。其效果为将两个给定的流形于各个选定的点附近连接起来。此一建构在闭曲面分类上有着关键性的角色。

更一般地，也可以将流形和其子流形连接起来；此一广义化通常称为纤维和。另外还有在结上之连通和的一相关概念，其称为结和或结的复合。

于一点上的连通和

两个m维流形的连通和为一流形，其将两个流形各挖去一个球，再将球面边界黏在一起。

若两个流形是可定向的，由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使这建构使用到的球的选择，但最后结果都会于同胚下统一。亦可以将此运算作用于光滑范畴上，而其结果也会于微分同胚下统一。

连通和的运算标记为$\#$；例如，$A\#B$即表示为A和B的连通和。

连通和的运算中有一球面$S^{m}$为单位元；亦即，$M\#S^{m}$会同胚(或微分同构)于M。

闭球面的分类，在拓扑学上的一基本及重大结果，其描述为：任一闭曲面均可表示成g个环面和k个实射影平面的连通和。

沿着一个子空间的连通和

设$M_{1}$和$M_{2}$为两个光滑、可定向且相同维度的流形，及V为一光滑、封闭且可定向的流形，可内嵌成$M_{1}$和$M_{2}$的子流形。此外，再假设其存在一法丛的同构

$\psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V$

其将每一纤维的定向颠倒。然后，$\psi$便可导出一定向保留的微分同构

$N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,$

其中，每一法丛$N_{M_{i}}V$都会微分同构地和于$M_{i}$内V的邻域$N_{i}$一致，且映射

$N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V$

相关条目

• Band sum
• Prime decomposition of 3-manifolds
• Manifold decomposition

参考文献

• Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.