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连通和

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数学里,尤其是在拓扑学里,连通和的运算是指一于流形上的几何改变。其效果为将两个给定的流形于各个选定的点附近连接起来。此一建构在闭曲面分类上有着关键性的角色。

更一般地,也可以将流形和其子流形连接起来;此一广义化通常称为纤维和。另外还有在上之连通和的一相关概念,其称为结和或结的复合

于一点上的连通和

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两个m流形连通和为一流形,其将两个流形各挖去一个,再将球面边界黏在一起

若两个流形是可定向的,由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使这建构使用到的球的选择,但最后结果都会于同胚下统一。亦可以将此运算作用于光滑范畴上,而其结果也会于微分同胚下统一。

连通和的运算标记为;例如,即表示为AB的连通和。

连通和的运算中有一球面单位元;亦即,会同胚(或微分同构)于M

闭球面的分类,在拓扑学上的一基本及重大结果,其描述为:任一闭曲面均可表示成g环面k实射影平面的连通和。

沿着一个子空间的连通和

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为两个光滑、可定向且相同维度的流形,及V为一光滑、封闭且可定向的流形,可内嵌成的子流形。此外,再假设其存在一法丛的同构

其将每一纤维的定向颠倒。然后,便可导出一定向保留的微分同构

其中,每一法丛都会微分同构地和于V的邻域一致,且映射

相关条目

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参考文献

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  • Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
  • William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.