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正扭歪无限面体

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几何学中,正扭歪[1][2]无限面体(英语:Regular skew apeirohedron),又称扭歪正多面体(日语:ねじれ正多面体[注 1]是一种顶点并非全部共面的正无限面体,即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图

历史

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关于考克斯特,1926年时,约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形非平面多边形)的概念推广到四维空间扭歪多面体三维空间的扭歪无限面体。

考克斯特找到了三种形式,他们具有平的面和扭歪的顶点图,两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是个正边形的公共顶点,且存在正边形的空洞。

若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体,则其施莱夫利符号存在下列等式:

  • 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)

三维空间的正扭歪无限面体

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三维空间中有三种扭歪无限面体,分别为四角六片四角孔扭歪无限面体六角四片四角孔扭歪无限面体六角六片三角孔扭歪无限面体约翰·康威将他们称为多立方体(英语:Mucube)、多八面体(英语:Muoctahedron)和、多四面体(英语:Mutetrahedron),英文中的字首mu-表示“多”(英语:multiple)的意思,其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”[3]

  1. 四角六片四角孔扭歪无限面体(多立方体、英语:Mucube):{4,6|4}:每个顶点都是六个正方形的公共顶点
  2. 六角四片四角孔扭歪无限面体(多八面体、英语:Muoctahedron):{6,4|4}:每个顶点都是四个六边形的公共顶点
  3. 六角六片三角孔扭歪无限面体(多四面体、英语:Mutetrahedron):{6,6|3}:每个顶点都是六个六边形的公共顶点

考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的[[(p,q,p,r)]+的手征对称性。与之相关的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的扩展对称性[4]

紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群
对称性
无限面体
{p,q|l}
图像
{p}

{l}
顶点图 相关堆砌
branch 4a4b nodes 
[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]
{4,6|4}
四角六片四角孔
扭歪无限面体

多立方体

动画
扭歪六边形

(黄色部分)
branch 4a4b nodes_11 
t0,3{4,3,4}
{6,4|4}
六角四片四角孔
扭歪无限面体

多八面体

动画
扭歪四边形

(绿色部分)
branch_11 4a4b nodes 
2t{4,3,4}
branch 3ab branch 
[[3[4]]]
[[3[4]]+]
{6,6|3}
六角六片三角孔
扭歪无限面体

多四面体

动画
扭歪六边形

(绿色部分)
branch_11 3ab branch 
q{4,3,4}英语Quarter cubic honeycomb

三维双曲空间的正扭歪无限面体

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1967年时,C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式,发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体[5]

14种紧空间正扭歪无限面体

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14种紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群 无限面体
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 顶点图 无限面体
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 顶点图
label5 branch 3ab nodes 
[3,5,3]
{10,4|3} label5 branch_11 3ab nodes 
2t{3,5,3}英语Bitruncated icosahedral honeycomb
{4,10|3} label5 branch 3ab nodes_11 
t0,3{3,5,3}英语Runcinated icosahedral honeycomb
branch 5a5b nodes 
[5,3,5]
{6,4|5} branch_11 5a5b nodes 
2t{5,3,5}英语Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
{4,6|5} branch 5a5b nodes_11 
t0,3{5,3,5}英语Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb
label4 branch 3ab branch 
[(4,3,3,3)]
{8,6|3} label4 branch_11 3ab branch 
ct{(4,3,3,3)}
{6,8|3} label4 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,4,3)}
label5 branch 3ab branch 
[(5,3,3,3)]
{10,6|3} label5 branch_11 3ab branch 
ct{(5,3,3,3)}
{6,10|3} label5 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,5,3)}
label4 branch 3ab branch label4 
[(4,3,4,3)]
{8,8|3} label4 branch_11 3ab branch label4 
ct{(4,3,4,3)}英语Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb
{6,6|4} label4 branch_10r 3ab branch_10l label4 
ct{(3,4,3,4)}英语Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb
label4 branch 3ab branch label5 
[(5,3,4,3)]
{8,10|3} label4 branch_11 3ab branch label5 
ct{(4,3,5,3)}
{10,8|3} label4 branch 3ab branch_11 label5 
ct{(5,3,4,3)}
label5 branch 3ab branch label5 
[(5,3,5,3)]
{10,10|3} label5 branch_11 3ab branch label5 
ct{(5,3,5,3)}英语Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb
{6,6|5} label5 branch_10r 3ab branch_10l label5 
ct{(3,5,3,5)}英语Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb

17种仿紧空间正扭歪无限面体

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17种仿紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群 无限面体
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 顶点图 无限面体
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 顶点图
label4 branch 4a4b nodes 
[4,4,4]
{8,4|4} label4 branch_11 4a4b nodes 
2t{4,4,4}英语Bitruncated order-4 square tiling honeycomb
{4,8|4} label4 branch 4a4b nodes_11 
t0,3{4,4,4}英语Runcinated order-4 square tiling honeycomb
label6 branch 3ab nodes 
[3,6,3]
{12,4|3} label6 branch_11 3ab nodes 
2t{3,6,3}英语Bitruncated triangular tiling honeycomb
{4,12|3} label6 branch 3ab nodes_11 
t0,3{3,6,3}英语Runcinated triangular tiling honeycomb
branch 6a6b nodes 
[6,3,6]
{6,4|6} branch_11 6a6b nodes 
2t{6,3,6}英语Bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb
{4,6|6} branch 6a6b nodes_11 
t0,3{6,3,6}英语Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb
label4 branch 4a4b branch 
[(4,4,4,3)]
{8,6|4} label4 branch_11 4a4b branch 
ct{(4,4,3,4)}
{6,8|4} label4 branch 4a4b branch_11 
ct{(3,4,4,4)}
label4 branch 4a4b branch label4 
[(4,4,4,4)]
{8,8|4} label4 branch_11 4a4b branch label4 
q{4,4,4}英语Order-4 square tiling honeycomb
label6 branch 3ab branch 2 
[(6,3,3,3)]
{12,6|3} label6 branch_11 3ab branch 
ct{(6,3,3,3)}
{6,12|3} label6 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label4 
[(6,3,4,3)]
{12,8|3} label6 branch_11 3ab branch label4 
ct{(6,3,4,3)}
{8,12|3} label6 branch 3ab branch_11 label4 
ct{(4,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label5 
[(6,3,5,3)]
{12,10|3} label6 branch_11 3ab branch label5 
ct{(6,3,5,3)}
{10,12|3} label6 branch 3ab branch_11 label5 
ct{(5,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label6 
[(6,3,6,3)]
{12,12|3} label6 branch_11 3ab branch label6 
ct{(6,3,6,3)}
{6,6|6} label6 branch_10r 3ab branch_10l label6 
ct{(3,6,3,6)}

参见

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注释

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  1. ^ 对于此主题(无限多个面的扭歪多面体),将之称为“扭歪正多面体”可能会有歧义,因为非无限多面的扭歪多面体也可能是正多面体,例如正多面体#皮特里对偶

参考文献

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  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. (原始内容存档于2020-11-19). 
  2. ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. (原始内容存档于2013-07-20). 
  3. ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  4. ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
  5. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部链接

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