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正扭歪無限面體

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幾何學中,正扭歪[1][2]無限面體(英語:Regular skew apeirohedron),又稱扭歪正多面體(日語:ねじれ正多面体[註 1]是一種頂點並非全部共面的正無限面體,即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖

歷史

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關於考克斯特,1926年時,約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形非平面多邊形)的概念推廣到四維空間扭歪多面體三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式,他們具有平的面和扭歪的頂點圖,兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是個正邊形的公共頂點,且存在正邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體,則其施萊夫利符號存在下列等式:

  • 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)

三維空間的正扭歪無限面體

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三維空間中有三種扭歪無限面體,分別為四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體六角六片三角孔扭歪無限面體約翰·康威將他們稱為多立方體(英語:Mucube)、多八面體(英語:Muoctahedron)和、多四面體(英語:Mutetrahedron),英文中的字首mu-表示「多」(英語:multiple)的意思,其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[3]

  1. 四角六片四角孔扭歪無限面體(多立方體、英語:Mucube):{4,6|4}:每個頂點都是六個正方形的公共頂點
  2. 六角四片四角孔扭歪無限面體(多八面體、英語:Muoctahedron):{6,4|4}:每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
  3. 六角六片三角孔扭歪無限面體(多四面體、英語:Mutetrahedron):{6,6|3}:每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性[4]

緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群
對稱性
無限面體
{p,q|l}
圖像
{p}

{l}
頂點圖 相關堆砌
branch 4a4b nodes 
[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]
{4,6|4}
四角六片四角孔
扭歪無限面體

多立方體

動畫
扭歪六邊形

(黃色部分)
branch 4a4b nodes_11 
t0,3{4,3,4}
{6,4|4}
六角四片四角孔
扭歪無限面體

多八面體

動畫
扭歪四邊形

(綠色部分)
branch_11 4a4b nodes 
2t{4,3,4}
branch 3ab branch 
[[3[4]]]
[[3[4]]+]
{6,6|3}
六角六片三角孔
扭歪無限面體

多四面體

動畫
扭歪六邊形

(綠色部分)
branch_11 3ab branch 
q{4,3,4}英語Quarter cubic honeycomb

三維雙曲空間的正扭歪無限面體

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1967年時,C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式,發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[5]

14種緊空間正扭歪無限面體

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14種緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖
label5 branch 3ab nodes 
[3,5,3]
{10,4|3} label5 branch_11 3ab nodes 
2t{3,5,3}英語Bitruncated icosahedral honeycomb
{4,10|3} label5 branch 3ab nodes_11 
t0,3{3,5,3}英語Runcinated icosahedral honeycomb
branch 5a5b nodes 
[5,3,5]
{6,4|5} branch_11 5a5b nodes 
2t{5,3,5}英語Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
{4,6|5} branch 5a5b nodes_11 
t0,3{5,3,5}英語Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb
label4 branch 3ab branch 
[(4,3,3,3)]
{8,6|3} label4 branch_11 3ab branch 
ct{(4,3,3,3)}
{6,8|3} label4 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,4,3)}
label5 branch 3ab branch 
[(5,3,3,3)]
{10,6|3} label5 branch_11 3ab branch 
ct{(5,3,3,3)}
{6,10|3} label5 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,5,3)}
label4 branch 3ab branch label4 
[(4,3,4,3)]
{8,8|3} label4 branch_11 3ab branch label4 
ct{(4,3,4,3)}英語Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb
{6,6|4} label4 branch_10r 3ab branch_10l label4 
ct{(3,4,3,4)}英語Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb
label4 branch 3ab branch label5 
[(5,3,4,3)]
{8,10|3} label4 branch_11 3ab branch label5 
ct{(4,3,5,3)}
{10,8|3} label4 branch 3ab branch_11 label5 
ct{(5,3,4,3)}
label5 branch 3ab branch label5 
[(5,3,5,3)]
{10,10|3} label5 branch_11 3ab branch label5 
ct{(5,3,5,3)}英語Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb
{6,6|5} label5 branch_10r 3ab branch_10l label5 
ct{(3,5,3,5)}英語Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb

17種仿緊空間正扭歪無限面體

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17種仿緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖
label4 branch 4a4b nodes 
[4,4,4]
{8,4|4} label4 branch_11 4a4b nodes 
2t{4,4,4}英語Bitruncated order-4 square tiling honeycomb
{4,8|4} label4 branch 4a4b nodes_11 
t0,3{4,4,4}英語Runcinated order-4 square tiling honeycomb
label6 branch 3ab nodes 
[3,6,3]
{12,4|3} label6 branch_11 3ab nodes 
2t{3,6,3}英語Bitruncated triangular tiling honeycomb
{4,12|3} label6 branch 3ab nodes_11 
t0,3{3,6,3}英語Runcinated triangular tiling honeycomb
branch 6a6b nodes 
[6,3,6]
{6,4|6} branch_11 6a6b nodes 
2t{6,3,6}英語Bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb
{4,6|6} branch 6a6b nodes_11 
t0,3{6,3,6}英語Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb
label4 branch 4a4b branch 
[(4,4,4,3)]
{8,6|4} label4 branch_11 4a4b branch 
ct{(4,4,3,4)}
{6,8|4} label4 branch 4a4b branch_11 
ct{(3,4,4,4)}
label4 branch 4a4b branch label4 
[(4,4,4,4)]
{8,8|4} label4 branch_11 4a4b branch label4 
q{4,4,4}英語Order-4 square tiling honeycomb
label6 branch 3ab branch 2 
[(6,3,3,3)]
{12,6|3} label6 branch_11 3ab branch 
ct{(6,3,3,3)}
{6,12|3} label6 branch 3ab branch_11 
ct{(3,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label4 
[(6,3,4,3)]
{12,8|3} label6 branch_11 3ab branch label4 
ct{(6,3,4,3)}
{8,12|3} label6 branch 3ab branch_11 label4 
ct{(4,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label5 
[(6,3,5,3)]
{12,10|3} label6 branch_11 3ab branch label5 
ct{(6,3,5,3)}
{10,12|3} label6 branch 3ab branch_11 label5 
ct{(5,3,6,3)}
label6 branch 3ab branch label6 
[(6,3,6,3)]
{12,12|3} label6 branch_11 3ab branch label6 
ct{(6,3,6,3)}
{6,6|6} label6 branch_10r 3ab branch_10l label6 
ct{(3,6,3,6)}

參見

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註釋

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  1. ^ 對於此主題(無限多個面的扭歪多面體),將之稱為「扭歪正多面體」可能會有歧義,因為非無限多面的扭歪多面體也可能是正多面體,例如正多面體#皮特里對偶

參考文獻

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  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. (原始內容存檔於2020-11-19). 
  2. ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辭典. [2024-04-23]. (原始內容存檔於2013-07-20). 
  3. ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  4. ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
  5. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部連結

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