算子拓撲

泛函分析中，在巴拿赫空間X上有幾種標準拓撲被賦予有界線性算子代數$B(H)$。

概述

令$(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$為巴拿赫空間X上的線性算子序列。考慮這樣的陳述：$(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$收斂到X上某算子T，這可能有歧義：

• 若$\|T_{n}-T\|\to 0$，即$T_{n}-T$的算子範數（$\|T_{n}x-Tx\|_{X}$的上確界，其中x在X中的單位球面上）收斂到0，就稱$T_{n}\to T$在一致算子拓撲中。
• $\forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx$，就稱$T_{n}\to T$在強算子拓撲中。
• 假設$\forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx$在X的弱拓撲中。這是說，對X上所有連續線性泛函$F(T_{n}x)\to F(Tx)$，稱$T_{n}\to T$在弱算子拓撲中。

B(H)上的拓撲列表

有界算子空間$B(H)$上的拓撲關係圖

除上述拓撲外，$B(X)$上還可定義許多拓撲，大多最初只是$X=H$為希爾伯特空間時才被定義，儘管很多時候都有適當的推廣。 下列拓撲都是局部凸的，即由一族半範數定義。

在數學分析中，若拓撲有很多開集，則稱強拓撲；若有較少的開集，稱為弱拓撲。因此，相應的收斂模式分別是強收斂和弱收斂（拓撲學中可能有相反的含義，或改稱細拓撲與粗拓撲）。 右圖是這些關係的簡單總結，箭頭從強指向弱。

若H是希爾伯特空間，則希爾伯特空間$B(X)$有（唯一）預對偶$B(H)_{*}$，由跡類算子組成，其對偶是$B(X)$。預對偶中，w為正的半範數$p_{w}(x)$定義為$B(w,\ x^{*}x)^{1/2}$。

若B是向量空間A上線性映射的向量空間，則$\sigma (A,\ B)$被定義為A上最弱的拓撲，使B中所有元素都連續。

• 範數拓撲或一致拓撲或一致算子拓撲定義為$B(H)$上通常的範數||x||，比下面所有拓撲都強。
• 弱（巴拿赫空間）拓撲是$\sigma (B(H),\ B(H)^{*})$，即使對偶$B(H)^{*}$的所有元素都連續的最弱拓撲，是巴拿赫空間$B(H)$上的弱拓撲。它比超弱、弱算子拓撲要強（注意：弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲，但它們是不同的）。
• 麥基拓撲或Arens-麥基拓撲是$B(H)$上對偶為$B(H)_{*}$的最強的局部凸拓撲，也是$B\sigma (B(H)_{*})$上的一致收斂拓撲，$B(H)_{*}$的$B(H)$-緊凸子集。比下面所有拓撲都強。
• σ-強^*拓撲或超強^*拓撲是比超強拓撲更強的最弱的拓撲，其伴隨映射連續，由$B(H)_{*}$的正元素w的半範數族$p_{w}(x),\ p_{w}(x^{*})$定義。比下面所有拓撲都強。
• σ強拓撲或超強拓撲或最強拓撲或最強算子拓撲由半範數族$p_{w}(x)$定義，w是$B(H)_{*}$的正元素。除了強^*拓撲，它比下面所有拓撲都強。注意：雖然叫「最強拓撲」，但弱於範數拓撲。
• σ弱拓撲或超弱拓撲或弱^*算子拓撲或弱*拓撲或弱拓撲或$\sigma (B(H),\ B(H)_{*})$拓撲由半範數|(w, x)|定義，其中w是$B(H)_{*}$的元素。比弱算子拓撲強（注意：弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲，但它們是不同的）。
• 強^* 算子拓撲或強^*拓撲由半範數||x(h)||、||x^*(h)||定義，其中h屬於H。比強、弱算子拓撲都強。
• 強算子拓撲或強拓撲由半範數||x(h)||定義，其中h屬於H。比弱算子拓撲強。
• 弱算子拓撲或弱拓撲由半範數|(x(h₁), h₂)|定義，其中所有h都屬於H（注意：弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲，但它們是不同的）。

拓撲之間的關係

弱、強、強^*（算子）拓撲的$B(H)$上的連續線性泛函是相同的，都是線性泛函$\forall h_{1},\ h_{2}\in H,\ (xh_{1},\ h_{2})$的有限線性組合。超弱、超強、超強^*、Arens-麥基拓撲的$B(H)$上的連續線性泛函是相同的，都是預對偶$B(H)_{*}$的元素。

由定義，範數拓撲中的連續線性泛函與弱巴拿赫空間拓撲中的相同。這對偶是個相當大的空間，其中有很多病態元素。

在$B(H)$的規範有界集上，弱（算子）、超強拓撲是重合的。比如，這可以從巴拿赫-阿勞格魯定理看出來。出於基本相同的原因，超強拓撲與$B(H)$的任何（規範）有界子集上的強拓撲相同。 Arens-麥基、超強^*、強^*拓撲也如此。

在局部凸空間中，凸集的封閉性可由連續線性泛函來表徵。因此，對$B(H)$的凸子集 K，在超強^*、超強、超弱拓撲中封閉的條件都等價，且也等價於：在強^*、強、弱（算子）拓撲中，$\forall r>0$，K與半徑為r的閉球有閉交集。 範數拓撲是可度量化的，其他的則不行。實際上，它們都不是第一可數空間。

H可分時，限制在單位球（或任何範數有界子集）上的所有拓撲都可度量化。

使用拓撲

最常用的拓撲是範數拓撲、強、弱算子拓撲。弱算子拓撲對關於緊性證明非常好用，因為據巴拿赫-阿勞格魯定理，單位球是緊的。 範數拓撲是基本拓撲，因為它使$B(H)$稱為巴拿赫空間，但它對很多目的來說太強了。例如$B(H)$在這拓撲中是不可分的。 強算子拓撲可能是最常用的拓撲。

超弱、超強拓撲比弱、強算子拓撲的性質更好，但定義也更複雜，所以除非真的需要這更好的性質，否則通常不會使用。例如，弱、強算子拓撲中$B(H)$的對偶空間太小，沒有什麼解析內容物。

強算子、超強拓撲中，伴隨映射不連續，而強^*、超強^*拓撲經過修改後則可使伴隨映射連續。它們並不常用。

Arens–麥基拓撲和弱巴拿赫空間拓撲相對少用。

總之，$B(H)$上的3個基本拓撲是範數拓撲、超強拓撲和超弱拓撲。強、弱算子拓撲分別作為後兩者的便捷近似，使用廣泛。其他拓撲則較為少見。

另見

• 有界算子
• 連續線性算子
• 希爾伯特空間
• 範數
• 線性映射空間拓撲
• 渾拓撲

參考文獻

• Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
• Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X