提升指數引理

在初等數論中，指數提升引理（英語：lifting-the-exponent lemma，又稱LTE引理或升冪引理）給出一些形如 $x^{n}\pm y^{n}$ 的整數所含的質因數 $p$ 的次數，即其p進賦值$\nu _{p}(x^{n}\pm y^{n})$。

背景

提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年內引起人們的關注。但高斯已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想，並在他的《算術研究》中引用。儘管該引理主要應用在數學奧林匹克競賽中，它有時也用於數學研究，例如橢圓曲線。

定理內容

對於任意整數 $x$, $y$，正整數 $n$，和素數 $p$ 使得 $p\nmid x$，$p\nmid y$，有下述的公式：

• $p$ 為奇數時：
  • 如果 $p\mid x-y$ ，那麼$\nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)+\nu _{p}(n)$ 。
  • 如果 $n$ 是奇數並且 $p\mid x+y$ ，那麼 $\nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)+\nu _{p}(n)$ 。
• $p=2$ 時 :
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 為偶數，那麼 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1$ 。
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 為奇數，那麼 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)$ 。（可以從下的一般情況得出）
  • 推論：
    • 如果 $4\mid x-y$ ，那 $\nu _{2}(x+y)=1$ 因此有 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)$ 。
• 對任意質數 $p$ ：
  • 如果 $\gcd(n,p)=1$ 且 $p\mid x-y$ ，那麼 $\nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)$ 。
  • 如果 $\gcd(n,p)=1$ , $p\mid x+y$ 且 $n$ 為奇數，那麼 $\nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)$ 。