提升指数引理

在初等数论中，指数提升引理（英语：lifting-the-exponent lemma，又称LTE引理或升幂引理）给出一些形如 $x^{n}\pm y^{n}$ 的整数所含的质因数 $p$ 的次数，即其p进赋值$\nu _{p}(x^{n}\pm y^{n})$。

背景

提升指数引理的起源并不明确。该引理目前的形式和名称也只是在过去10至20年内引起人们的关注。但高斯已经知道这个引理的证明中的几个关键思想，并在他的《算术研究》中引用。尽管该引理主要应用在数学奥林匹克竞赛中，它有时也用于数学研究，例如椭圆曲线。

定理内容

对于任意整数 $x$, $y$，正整数 $n$，和素数 $p$ 使得 $p\nmid x$，$p\nmid y$，有下述的公式：

• $p$ 为奇数时：
  • 如果 $p\mid x-y$ ，那么$\nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)+\nu _{p}(n)$ 。
  • 如果 $n$ 是奇数并且 $p\mid x+y$ ，那么 $\nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)+\nu _{p}(n)$ 。
• $p=2$ 时 :
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 为偶数，那么 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1$ 。
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 为奇数，那么 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)$ 。（可以从下的一般情况得出）
  • 推论：
    • 如果 $4\mid x-y$ ，那 $\nu _{2}(x+y)=1$ 因此有 $\nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)$ 。
• 对任意质数 $p$ ：
  • 如果 $\gcd(n,p)=1$ 且 $p\mid x-y$ ，那么 $\nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)$ 。
  • 如果 $\gcd(n,p)=1$ , $p\mid x+y$ 且 $n$ 为奇数，那么 $\nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)$ 。