諾特群

在群論中，諾特群(英語：Noetherian group)是指群使得其子群滿足升鏈條件。

定義

設$G$是一個群。那麼以下條件等價，滿足此條件的群稱為諾特群。

• $G$的子群格 $\operatorname {Sub} (G)$滿足升鏈條件。
• $G$的所有子群都是有限生成群。

性質

關於諸運算的封閉性

諾特群的子群以及商群是諾特群。諾特群被諾特群的擴張仍是諾特群。

諾特可解群

對於群$G$，以下條件等價。

• $G$是可解群，並且是諾特群。
• 存在$G$的子群列$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G$，使得對於每個$i=0,\dots ,n-1$有$G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}$且$G_{i+1}/G_{i}$是循環群。

滿足這個條件的群稱為多循環群。

對於冪零群$G$，以下條件等價。

• $G$是諾特群。
• $G$是有限生成群。

例

所有有限群都是諾特群。所有有限生成冪零群是多循環群從而是諾特群。

多循環群被有限群的擴張是諾特群。其逆不成立，也就是說一個諾特群可能不具有指數有限的多循環正規子群。但這樣的反例的構造是相當複雜的。

歷史

諾特群的名稱取自埃米·諾特。不是多循環群被有限群的擴張的諾特群由亞歷山大·奧利尚斯基在一篇1979年論文中首次構造。

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Noetherian group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel (編), Polycyclic group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Noetherian group. Groupprops. [2022-12-20]. （原始內容存檔於2022-12-06） （英語）. 
• Polycyclic group. Groupprops. [2022-12-20]. （原始內容存檔於2022-12-20） （英語）.